Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28711 / 43577
↖ ↑ ↗
← S 50.934200°
W 22.285766°		 ← 384.93 m → S 50.934200°
W 22.280273°		 →
↑
384.94 m
↓
↑
384.94 m
↓
S 50.937662°
W 22.285766°		 ← 384.90 m →
148 166 m²		 S 50.937662°
W 22.280273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438102722167969 y=0.664939880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438102722167969 × 216)
    floor (0.438102722167969 × 65536)
    floor (28711.5)     		tx = 28711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664939880371094 × 216)
    floor (0.664939880371094 × 65536)
    floor (43577.5)     		ty = 43577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28711 / 43577 ti = "16/28711/43577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28711/43577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28711 ÷ 216
    28711 ÷ 65536     		x = 0.438095092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43577 ÷ 216
    43577 ÷ 65536     		y = 0.664932250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438095092773438 × 2 - 1) × π
    -0.123809814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38896000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664932250976562 × 2 - 1) × π
    -0.329864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03629989598637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38896000} λ = -0.38896000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03629989598637))-π/2
    2×atan(0.354764923566395)-π/2
    2×0.340913417358132-π/2
    0.681826834716263-1.57079632675     		φ = -0.88896949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38896000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.285766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88896949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.934200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28711 KachelY 43577 -0.38896000 -0.88896949 -22.285766 -50.934200
    Oben rechts KachelX + 1 28712 KachelY 43577 -0.38886413 -0.88896949 -22.280273 -50.934200
    Unten links KachelX 28711 KachelY + 1 43578 -0.38896000 -0.88902991 -22.285766 -50.937662
    Unten rechts KachelX + 1 28712 KachelY + 1 43578 -0.38886413 -0.88902991 -22.280273 -50.937662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88896949--0.88902991) × R
    6.041999999995e-05 × 6371000     		dl = 384.935819999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88896949--0.88902991) × R
    6.041999999995e-05 × 6371000     		dr = 384.935819999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38896000--0.38886413) × cos(-0.88896949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630212472436217 × 6371000     		do = 384.926070665495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38896000--0.38886413) × cos(-0.88902991) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630165559825205 × 6371000     		du = 384.89741701643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88896949)-sin(-0.88902991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630212472436217-0.630165559825205)×R²
    abs(-0.38886413--0.38896000)×4.69126110119733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69126110119733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69126110119733e-05×40589641000000     		ar = 148166.317787716m²