Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28711 / 20550
↖ ↑ ↗
← N 76.796975°
W101.142883°		 ← 69.76 m → N 76.796975°
W101.140137°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.796348°
W101.142883°		 ← 69.76 m →
4 862 m²		 N 76.796348°
W101.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219051361083984 y=0.156787872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219051361083984 × 217)
    floor (0.219051361083984 × 131072)
    floor (28711.5)     		tx = 28711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156787872314453 × 217)
    floor (0.156787872314453 × 131072)
    floor (20550.5)     		ty = 20550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28711 / 20550 ti = "17/28711/20550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28711/20550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28711 ÷ 217
    28711 ÷ 131072     		x = 0.219047546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20550 ÷ 217
    20550 ÷ 131072     		y = 0.156784057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219047546386719 × 2 - 1) × π
    -0.561904907226562 × 3.1415926535     		Λ = -1.76527633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156784057617188 × 2 - 1) × π
    0.686431884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15648936630785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76527633} λ = -1.76527633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15648936630785))-π/2
    2×atan(8.64074984190634)-π/2
    2×1.45557820049852-π/2
    2.91115640099704-1.57079632675     		φ = 1.34036007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76527633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.142883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34036007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.796975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28711 KachelY 20550 -1.76527633 1.34036007 -101.142883 76.796975
    Oben rechts KachelX + 1 28712 KachelY 20550 -1.76522839 1.34036007 -101.140137 76.796975
    Unten links KachelX 28711 KachelY + 1 20551 -1.76527633 1.34034913 -101.142883 76.796348
    Unten rechts KachelX + 1 28712 KachelY + 1 20551 -1.76522839 1.34034913 -101.140137 76.796348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34036007-1.34034913) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34036007-1.34034913) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76527633--1.76522839) × cos(1.34036007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228402270408159 × 6371000     		do = 69.7599324570462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76527633--1.76522839) × cos(1.34034913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228412921215781 × 6371000     		du = 69.7631854878459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34036007)-sin(1.34034913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228402270408159-0.228412921215781)×R²
    abs(-1.76522839--1.76527633)×1.06508076226919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06508076226919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06508076226919e-05×40589641000000     		ar = 4862.29276083337m²