Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28711 / 14927
↖ ↑ ↗
← N 69.505688°
W 22.285766°		 ← 213.85 m → N 69.505688°
W 22.280273°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
N 69.503765°
W 22.285766°		 ← 213.86 m →
45 725 m²		 N 69.503765°
W 22.280273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438102722167969 y=0.227775573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438102722167969 × 216)
    floor (0.438102722167969 × 65536)
    floor (28711.5)     		tx = 28711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227775573730469 × 216)
    floor (0.227775573730469 × 65536)
    floor (14927.5)     		ty = 14927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28711 / 14927 ti = "16/28711/14927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28711/14927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28711 ÷ 216
    28711 ÷ 65536     		x = 0.438095092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14927 ÷ 216
    14927 ÷ 65536     		y = 0.227767944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438095092773438 × 2 - 1) × π
    -0.123809814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38896000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227767944335938 × 2 - 1) × π
    0.544464111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71048445224284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38896000} λ = -0.38896000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71048445224284))-π/2
    2×atan(5.5316406443242)-π/2
    2×1.39194972013904-π/2
    2.78389944027809-1.57079632675     		φ = 1.21310311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38896000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.285766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21310311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.505688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28711 KachelY 14927 -0.38896000 1.21310311 -22.285766 69.505688
    Oben rechts KachelX + 1 28712 KachelY 14927 -0.38886413 1.21310311 -22.280273 69.505688
    Unten links KachelX 28711 KachelY + 1 14928 -0.38896000 1.21306955 -22.285766 69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 28712 KachelY + 1 14928 -0.38886413 1.21306955 -22.280273 69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21310311-1.21306955) × R
    3.35600000000991e-05 × 6371000     		dl = 213.810760000631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21310311-1.21306955) × R
    3.35600000000991e-05 × 6371000     		dr = 213.810760000631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38896000--0.38886413) × cos(1.21310311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350114386846206 × 6371000     		do = 213.845585586707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38896000--0.38886413) × cos(1.21306955) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 213.864786120589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21310311)-sin(1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350114386846206-0.350145822534387)×R²
    abs(-0.38886413--0.38896000)×3.14356881803701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14356881803701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14356881803701e-05×40589641000000     		ar = 45724.5398216095m²