Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28710 / 20549
↖ ↑ ↗
← N 76.797602°
W101.145630°		 ← 69.76 m → N 76.797602°
W101.142883°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.796975°
W101.145630°		 ← 69.76 m →
4 867 m²		 N 76.796975°
W101.142883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219043731689453 y=0.156780242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219043731689453 × 217)
    floor (0.219043731689453 × 131072)
    floor (28710.5)     		tx = 28710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156780242919922 × 217)
    floor (0.156780242919922 × 131072)
    floor (20549.5)     		ty = 20549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28710 / 20549 ti = "17/28710/20549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28710/20549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28710 ÷ 217
    28710 ÷ 131072     		x = 0.219039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20549 ÷ 217
    20549 ÷ 131072     		y = 0.156776428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.561920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76532427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156776428222656 × 2 - 1) × π
    0.686447143554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.15653730320747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76532427} λ = -1.76532427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15653730320747))-π/2
    2×atan(8.6411640625923)-π/2
    2×1.45558367481903-π/2
    2.91116734963806-1.57079632675     		φ = 1.34037102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76532427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34037102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.797602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28710 KachelY 20549 -1.76532427 1.34037102 -101.145630 76.797602
    Oben rechts KachelX + 1 28711 KachelY 20549 -1.76527633 1.34037102 -101.142883 76.797602
    Unten links KachelX 28710 KachelY + 1 20550 -1.76532427 1.34036007 -101.145630 76.796975
    Unten rechts KachelX + 1 28711 KachelY + 1 20550 -1.76527633 1.34036007 -101.142883 76.796975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34037102-1.34036007) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34037102-1.34036007) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76532427--1.76527633) × cos(1.34037102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228391609837506 × 6371000     		do = 69.7566764443659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76532427--1.76527633) × cos(1.34036007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228402270408159 × 6371000     		du = 69.7599324570462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34037102)-sin(1.34036007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228391609837506-0.228402270408159)×R²
    abs(-1.76527633--1.76532427)×1.06605706522711e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06605706522711e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06605706522711e-05×40589641000000     		ar = 4866.51022632467m²