Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28709 / 42370
↖ ↑ ↗
← S 46.566414°
W 22.296753°		 ← 419.92 m → S 46.566414°
W 22.291260°		 →
↑
419.91 m
↓
↑
419.91 m
↓
S 46.570191°
W 22.296753°		 ← 419.90 m →
176 326 m²		 S 46.570191°
W 22.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438072204589844 y=0.646522521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438072204589844 × 216)
    floor (0.438072204589844 × 65536)
    floor (28709.5)     		tx = 28709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646522521972656 × 216)
    floor (0.646522521972656 × 65536)
    floor (42370.5)     		ty = 42370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28709 / 42370 ti = "16/28709/42370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28709/42370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28709 ÷ 216
    28709 ÷ 65536     		x = 0.438064575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42370 ÷ 216
    42370 ÷ 65536     		y = 0.646514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438064575195312 × 2 - 1) × π
    -0.123870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38915175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646514892578125 × 2 - 1) × π
    -0.29302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.920580220303558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38915175} λ = -0.38915175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.920580220303558))-π/2
    2×atan(0.398287879314384)-π/2
    2×0.379029540172618-π/2
    0.758059080345235-1.57079632675     		φ = -0.81273725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38915175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.296753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81273725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28709 KachelY 42370 -0.38915175 -0.81273725 -22.296753 -46.566414
    Oben rechts KachelX + 1 28710 KachelY 42370 -0.38905588 -0.81273725 -22.291260 -46.566414
    Unten links KachelX 28709 KachelY + 1 42371 -0.38915175 -0.81280316 -22.296753 -46.570191
    Unten rechts KachelX + 1 28710 KachelY + 1 42371 -0.38905588 -0.81280316 -22.291260 -46.570191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81273725--0.81280316) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dl = 419.912610000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81273725--0.81280316) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dr = 419.912610000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38915175--0.38905588) × cos(-0.81273725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687513297314588 × 6371000     		do = 419.924713712115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38915175--0.38905588) × cos(-0.81280316) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687465433838738 × 6371000     		du = 419.895479286436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81273725)-sin(-0.81280316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687513297314588-0.687465433838738)×R²
    abs(-0.38905588--0.38915175)×4.78634758502849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78634758502849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78634758502849e-05×40589641000000     		ar = 176325.544650155m²