Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28709 / 42155
↖ ↑ ↗
← S 45.748360°
W 22.296753°		 ← 426.21 m → S 45.748360°
W 22.291260°		 →
↑
426.22 m
↓
↑
426.22 m
↓
S 45.752193°
W 22.296753°		 ← 426.19 m →
181 655 m²		 S 45.752193°
W 22.291260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438072204589844 y=0.643241882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438072204589844 × 216)
    floor (0.438072204589844 × 65536)
    floor (28709.5)     		tx = 28709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643241882324219 × 216)
    floor (0.643241882324219 × 65536)
    floor (42155.5)     		ty = 42155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28709 / 42155 ti = "16/28709/42155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28709/42155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28709 ÷ 216
    28709 ÷ 65536     		x = 0.438064575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42155 ÷ 216
    42155 ÷ 65536     		y = 0.643234252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438064575195312 × 2 - 1) × π
    -0.123870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38915175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643234252929688 × 2 - 1) × π
    -0.286468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.899967353466934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38915175} λ = -0.38915175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899967353466934))-π/2
    2×atan(0.406582933047102)-π/2
    2×0.386168406075678-π/2
    0.772336812151356-1.57079632675     		φ = -0.79845951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38915175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.296753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79845951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.748360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28709 KachelY 42155 -0.38915175 -0.79845951 -22.296753 -45.748360
    Oben rechts KachelX + 1 28710 KachelY 42155 -0.38905588 -0.79845951 -22.291260 -45.748360
    Unten links KachelX 28709 KachelY + 1 42156 -0.38915175 -0.79852641 -22.296753 -45.752193
    Unten rechts KachelX + 1 28710 KachelY + 1 42156 -0.38905588 -0.79852641 -22.291260 -45.752193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79845951--0.79852641) × R
    6.68999999999809e-05 × 6371000     		dl = 426.219899999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79845951--0.79852641) × R
    6.68999999999809e-05 × 6371000     		dr = 426.219899999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38915175--0.38905588) × cos(-0.79845951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697810962114085 × 6371000     		do = 426.214401431207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38915175--0.38905588) × cos(-0.79852641) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.697763041288735 × 6371000     		du = 426.185131977155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79845951)-sin(-0.79852641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697810962114085-0.697763041288735)×R²
    abs(-0.38905588--0.38915175)×4.79208253504337e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79208253504337e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79208253504337e-05×40589641000000     		ar = 181654.822012397m²