Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28709 / 20580
↖ ↑ ↗
← N 76.778142°
W101.148376°		 ← 69.84 m → N 76.778142°
W101.145630°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.777514°
W101.148376°		 ← 69.85 m →
4 881 m²		 N 76.777514°
W101.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219036102294922 y=0.157016754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219036102294922 × 217)
    floor (0.219036102294922 × 131072)
    floor (28709.5)     		tx = 28709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157016754150391 × 217)
    floor (0.157016754150391 × 131072)
    floor (20580.5)     		ty = 20580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28709 / 20580 ti = "17/28709/20580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28709/20580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28709 ÷ 217
    28709 ÷ 131072     		x = 0.219032287597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20580 ÷ 217
    20580 ÷ 131072     		y = 0.157012939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219032287597656 × 2 - 1) × π
    -0.561935424804688 × 3.1415926535     		Λ = -1.76537220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157012939453125 × 2 - 1) × π
    0.68597412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15505125931924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76537220} λ = -1.76537220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15505125931924))-π/2
    2×atan(8.628332450081)-π/2
    2×1.45541385202903-π/2
    2.91082770405805-1.57079632675     		φ = 1.34003138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76537220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.148376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34003138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.778142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28709 KachelY 20580 -1.76537220 1.34003138 -101.148376 76.778142
    Oben rechts KachelX + 1 28710 KachelY 20580 -1.76532427 1.34003138 -101.145630 76.778142
    Unten links KachelX 28709 KachelY + 1 20581 -1.76537220 1.34002041 -101.148376 76.777514
    Unten rechts KachelX + 1 28710 KachelY + 1 20581 -1.76532427 1.34002041 -101.145630 76.777514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34003138-1.34002041) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dl = 69.8898700010548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34003138-1.34002041) × R
    1.09700000001656e-05 × 6371000     		dr = 69.8898700010548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76537220--1.76532427) × cos(1.34003138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228722259750919 × 6371000     		do = 69.8430935437707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76537220--1.76532427) × cos(1.34002041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228732938941319 × 6371000     		du = 69.8463545630301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34003138)-sin(1.34002041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228722259750919-0.228732938941319)×R²
    abs(-1.76532427--1.76537220)×1.06791904003201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06791904003201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06791904003201e-05×40589641000000     		ar = 4881.43868445328m²