Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28708 / 20524
↖ ↑ ↗
← N 76.813276°
W101.151123°		 ← 69.68 m → N 76.813276°
W101.148376°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.812649°
W101.151123°		 ← 69.68 m →
4 852 m²		 N 76.812649°
W101.148376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219028472900391 y=0.156589508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219028472900391 × 217)
    floor (0.219028472900391 × 131072)
    floor (28708.5)     		tx = 28708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156589508056641 × 217)
    floor (0.156589508056641 × 131072)
    floor (20524.5)     		ty = 20524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28708 / 20524 ti = "17/28708/20524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28708/20524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28708 ÷ 217
    28708 ÷ 131072     		x = 0.219024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20524 ÷ 217
    20524 ÷ 131072     		y = 0.156585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.56195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76542014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156585693359375 × 2 - 1) × π
    0.68682861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15773572569797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76542014} λ = -1.76542014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15773572569797))-π/2
    2×atan(8.65152603571967)-π/2
    2×1.45572044983014-π/2
    2.91144089966028-1.57079632675     		φ = 1.34064457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76542014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34064457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.813276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28708 KachelY 20524 -1.76542014 1.34064457 -101.151123 76.813276
    Oben rechts KachelX + 1 28709 KachelY 20524 -1.76537220 1.34064457 -101.148376 76.813276
    Unten links KachelX 28708 KachelY + 1 20525 -1.76542014 1.34063364 -101.151123 76.812649
    Unten rechts KachelX + 1 28709 KachelY + 1 20525 -1.76537220 1.34063364 -101.148376 76.812649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34064457-1.34063364) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34064457-1.34063364) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76542014--1.76537220) × cos(1.34064457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22812528140085 × 6371000     		do = 69.6753328845173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76542014--1.76537220) × cos(1.34063364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228135923182652 × 6371000     		du = 69.6785831585989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34064457)-sin(1.34063364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22812528140085-0.228135923182652)×R²
    abs(-1.76537220--1.76542014)×1.06417818014071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06417818014071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06417818014071e-05×40589641000000     		ar = 4851.95706213164m²