Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28707 / 40554
↖ ↑ ↗
← S 39.274790°
W 22.307739°		 ← 472.87 m → S 39.274790°
W 22.302246°		 →
↑
472.86 m
↓
↑
472.86 m
↓
S 39.279042°
W 22.307739°		 ← 472.84 m →
223 593 m²		 S 39.279042°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438041687011719 y=0.618812561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438041687011719 × 216)
    floor (0.438041687011719 × 65536)
    floor (28707.5)     		tx = 28707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618812561035156 × 216)
    floor (0.618812561035156 × 65536)
    floor (40554.5)     		ty = 40554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28707 / 40554 ti = "16/28707/40554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28707/40554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28707 ÷ 216
    28707 ÷ 65536     		x = 0.438034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40554 ÷ 216
    40554 ÷ 65536     		y = 0.618804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    -0.123931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38934350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.23760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.746473400883514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38934350} λ = -0.38934350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746473400883514))-π/2
    2×atan(0.474035341052715)-π/2
    2×0.442660967093232-π/2
    0.885321934186464-1.57079632675     		φ = -0.68547439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38934350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.307739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68547439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.274790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28707 KachelY 40554 -0.38934350 -0.68547439 -22.307739 -39.274790
    Oben rechts KachelX + 1 28708 KachelY 40554 -0.38924762 -0.68547439 -22.302246 -39.274790
    Unten links KachelX 28707 KachelY + 1 40555 -0.38934350 -0.68554861 -22.307739 -39.279042
    Unten rechts KachelX + 1 28708 KachelY + 1 40555 -0.38924762 -0.68554861 -22.302246 -39.279042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68547439--0.68554861) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dl = 472.855620000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68547439--0.68554861) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dr = 472.855620000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(-0.68547439) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.77411882621336 × 6371000     		do = 472.871630688257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(-0.68554861) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.774071839828919 × 6371000     		du = 472.842928985782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68547439)-sin(-0.68554861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77411882621336-0.774071839828919)×R²
    abs(-0.38924762--0.38934350)×4.69863844406726e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69863844406726e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69863844406726e-05×40589641000000     		ar = 223593.222331563m²