Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28707 / 14884
↖ ↑ ↗
← N 69.588228°
W 22.307739°		 ← 213.04 m → N 69.588228°
W 22.302246°		 →
↑
213.05 m
↓
↑
213.05 m
↓
N 69.586312°
W 22.307739°		 ← 213.06 m →
45 390 m²		 N 69.586312°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438041687011719 y=0.227119445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438041687011719 × 216)
    floor (0.438041687011719 × 65536)
    floor (28707.5)     		tx = 28707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227119445800781 × 216)
    floor (0.227119445800781 × 65536)
    floor (14884.5)     		ty = 14884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28707 / 14884 ti = "16/28707/14884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28707/14884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28707 ÷ 216
    28707 ÷ 65536     		x = 0.438034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14884 ÷ 216
    14884 ÷ 65536     		y = 0.22711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    -0.123931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38934350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22711181640625 × 2 - 1) × π
    0.5457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71460702561017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38934350} λ = -0.38934350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71460702561017))-π/2
    2×atan(5.55449231019182)-π/2
    2×1.39267001435112-π/2
    2.78534002870224-1.57079632675     		φ = 1.21454370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38934350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.307739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21454370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.588228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28707 KachelY 14884 -0.38934350 1.21454370 -22.307739 69.588228
    Oben rechts KachelX + 1 28708 KachelY 14884 -0.38924762 1.21454370 -22.302246 69.588228
    Unten links KachelX 28707 KachelY + 1 14885 -0.38934350 1.21451026 -22.307739 69.586312
    Unten rechts KachelX + 1 28708 KachelY + 1 14885 -0.38924762 1.21451026 -22.302246 69.586312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21454370-1.21451026) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dl = 213.046239999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21454370-1.21451026) × R
    3.34399999999402e-05 × 6371000     		dr = 213.046239999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21454370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348764613347221 × 6371000     		do = 213.043380234762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21451026) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348795953466397 × 6371000     		du = 213.062524392943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21454370)-sin(1.21451026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348764613347221-0.348795953466397)×R²
    abs(-0.38924762--0.38934350)×3.13401191751606e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13401191751606e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13401191751606e-05×40589641000000     		ar = 45390.1304155678m²