Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28707 / 14881
↖ ↑ ↗
← N 69.593975°
W 22.307739°		 ← 212.99 m → N 69.593975°
W 22.302246°		 →
↑
212.98 m
↓
↑
212.98 m
↓
N 69.592059°
W 22.307739°		 ← 213.01 m →
45 364 m²		 N 69.592059°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438041687011719 y=0.227073669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438041687011719 × 216)
    floor (0.438041687011719 × 65536)
    floor (28707.5)     		tx = 28707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227073669433594 × 216)
    floor (0.227073669433594 × 65536)
    floor (14881.5)     		ty = 14881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28707 / 14881 ti = "16/28707/14881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28707/14881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28707 ÷ 216
    28707 ÷ 65536     		x = 0.438034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14881 ÷ 216
    14881 ÷ 65536     		y = 0.227066040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    -0.123931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38934350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227066040039062 × 2 - 1) × π
    0.545867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71489464700789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38934350} λ = -0.38934350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71489464700789))-π/2
    2×atan(5.55609013080639)-π/2
    2×1.39272016367409-π/2
    2.78544032734817-1.57079632675     		φ = 1.21464400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38934350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.307739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21464400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.593975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28707 KachelY 14881 -0.38934350 1.21464400 -22.307739 69.593975
    Oben rechts KachelX + 1 28708 KachelY 14881 -0.38924762 1.21464400 -22.302246 69.593975
    Unten links KachelX 28707 KachelY + 1 14882 -0.38934350 1.21461057 -22.307739 69.592059
    Unten rechts KachelX + 1 28708 KachelY + 1 14882 -0.38924762 1.21461057 -22.302246 69.592059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21464400-1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dl = 212.982530000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21464400-1.21461057) × R
    3.3430000000001e-05 × 6371000     		dr = 212.982530000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21464400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34867060939474 × 6371000     		do = 212.985957781263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21461057) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348701941311242 × 6371000     		du = 213.005096928829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21464400)-sin(1.21461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34867060939474-0.348701941311242)×R²
    abs(-0.38924762--0.38934350)×3.13319165011205e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13319165011205e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13319165011205e-05×40589641000000     		ar = 45364.3262986445m²