Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28707 / 14879
↖ ↑ ↗
← N 69.597805°
W 22.307739°		 ← 212.95 m → N 69.597805°
W 22.302246°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 69.595890°
W 22.307739°		 ← 212.97 m →
45 343 m²		 N 69.595890°
W 22.302246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438041687011719 y=0.227043151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438041687011719 × 216)
    floor (0.438041687011719 × 65536)
    floor (28707.5)     		tx = 28707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227043151855469 × 216)
    floor (0.227043151855469 × 65536)
    floor (14879.5)     		ty = 14879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28707 / 14879 ti = "16/28707/14879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28707/14879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28707 ÷ 216
    28707 ÷ 65536     		x = 0.438034057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14879 ÷ 216
    14879 ÷ 65536     		y = 0.227035522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438034057617188 × 2 - 1) × π
    -0.123931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38934350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227035522460938 × 2 - 1) × π
    0.545928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71508639460637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38934350} λ = -0.38934350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71508639460637))-π/2
    2×atan(5.55715559989322)-π/2
    2×1.39275358904642-π/2
    2.78550717809283-1.57079632675     		φ = 1.21471085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38934350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.307739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21471085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.597805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28707 KachelY 14879 -0.38934350 1.21471085 -22.307739 69.597805
    Oben rechts KachelX + 1 28708 KachelY 14879 -0.38924762 1.21471085 -22.302246 69.597805
    Unten links KachelX 28707 KachelY + 1 14880 -0.38934350 1.21467743 -22.307739 69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 28708 KachelY + 1 14880 -0.38924762 1.21467743 -22.302246 69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21471085-1.21467743) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dl = 212.918819998979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21471085-1.21467743) × R
    3.34199999998397e-05 × 6371000     		dr = 212.918819998979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21471085) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		do = 212.947684497395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38934350--0.38924762) × cos(1.21467743) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 212.966818395671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21471085)-sin(1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348607953765474-0.348639277088577)×R²
    abs(-0.38924762--0.38934350)×3.13233231036825e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.13233231036825e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.13233231036825e-05×40589641000000     		ar = 45342.6066923426m²