Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28705 / 42400
↖ ↑ ↗
← S 46.679595°
W 22.318726°		 ← 419.09 m → S 46.679595°
W 22.313232°		 →
↑
419.02 m
↓
↑
419.02 m
↓
S 46.683363°
W 22.318726°		 ← 419.06 m →
175 602 m²		 S 46.683363°
W 22.313232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438011169433594 y=0.646980285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438011169433594 × 216)
    floor (0.438011169433594 × 65536)
    floor (28705.5)     		tx = 28705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646980285644531 × 216)
    floor (0.646980285644531 × 65536)
    floor (42400.5)     		ty = 42400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28705 / 42400 ti = "16/28705/42400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28705/42400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28705 ÷ 216
    28705 ÷ 65536     		x = 0.438003540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42400 ÷ 216
    42400 ÷ 65536     		y = 0.64697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438003540039062 × 2 - 1) × π
    -0.123992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38953525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.923456434280762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38953525} λ = -0.38953525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.923456434280762))-π/2
    2×atan(0.397143964010139)-π/2
    2×0.37804185494593-π/2
    0.756083709891861-1.57079632675     		φ = -0.81471262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38953525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.318726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81471262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.679595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28705 KachelY 42400 -0.38953525 -0.81471262 -22.318726 -46.679595
    Oben rechts KachelX + 1 28706 KachelY 42400 -0.38943937 -0.81471262 -22.313232 -46.679595
    Unten links KachelX 28705 KachelY + 1 42401 -0.38953525 -0.81477839 -22.318726 -46.683363
    Unten rechts KachelX + 1 28706 KachelY + 1 42401 -0.38943937 -0.81477839 -22.313232 -46.683363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81471262--0.81477839) × R
    6.5769999999965e-05 × 6371000     		dl = 419.020669999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81471262--0.81477839) × R
    6.5769999999965e-05 × 6371000     		dr = 419.020669999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38953525--0.38943937) × cos(-0.81471262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.686077498914387 × 6371000     		do = 419.09145560652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38953525--0.38943937) × cos(-0.81477839) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.686029647883484 × 6371000     		du = 419.062225733473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81471262)-sin(-0.81477839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686077498914387-0.686029647883484)×R²
    abs(-0.38943937--0.38953525)×4.7851030902879e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7851030902879e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7851030902879e-05×40589641000000     		ar = 175601.858622104m²