Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28704 / 20586
↖ ↑ ↗
← N 76.774372°
W101.162110°		 ← 69.88 m → N 76.774372°
W101.159363°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 76.773744°
W101.162110°		 ← 69.88 m →
4 879 m²		 N 76.773744°
W101.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218997955322266 y=0.157062530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218997955322266 × 217)
    floor (0.218997955322266 × 131072)
    floor (28704.5)     		tx = 28704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157062530517578 × 217)
    floor (0.157062530517578 × 131072)
    floor (20586.5)     		ty = 20586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28704 / 20586 ti = "17/28704/20586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28704/20586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28704 ÷ 217
    28704 ÷ 131072     		x = 0.218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20586 ÷ 217
    20586 ÷ 131072     		y = 0.157058715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157058715820312 × 2 - 1) × π
    0.685882568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15476363792152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76561189} λ = -1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15476363792152))-π/2
    2×atan(8.62585111390151)-π/2
    2×1.45538095471529-π/2
    2.91076190943057-1.57079632675     		φ = 1.33996558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33996558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.774372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28704 KachelY 20586 -1.76561189 1.33996558 -101.162110 76.774372
    Oben rechts KachelX + 1 28705 KachelY 20586 -1.76556395 1.33996558 -101.159363 76.774372
    Unten links KachelX 28704 KachelY + 1 20587 -1.76561189 1.33995462 -101.162110 76.773744
    Unten rechts KachelX + 1 28705 KachelY + 1 20587 -1.76556395 1.33995462 -101.159363 76.773744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33996558-1.33995462) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33996558-1.33995462) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76561189--1.76556395) × cos(1.33996558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228786315010872 × 6371000     		do = 69.8772295640229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76561189--1.76556395) × cos(1.33995462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228796984301406 × 6371000     		du = 69.8804882399795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33996558)-sin(1.33995462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228786315010872-0.228796984301406)×R²
    abs(-1.76556395--1.76561189)×1.06692905339212e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06692905339212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06692905339212e-05×40589641000000     		ar = 4879.37238231716m²