Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28704 / 20576
↖ ↑ ↗
← N 76.780655°
W101.162110°		 ← 69.84 m → N 76.780655°
W101.159363°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 76.780027°
W101.162110°		 ← 69.85 m →
4 877 m²		 N 76.780027°
W101.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218997955322266 y=0.156986236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218997955322266 × 217)
    floor (0.218997955322266 × 131072)
    floor (28704.5)     		tx = 28704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156986236572266 × 217)
    floor (0.156986236572266 × 131072)
    floor (20576.5)     		ty = 20576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28704 / 20576 ti = "17/28704/20576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28704/20576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28704 ÷ 217
    28704 ÷ 131072     		x = 0.218994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20576 ÷ 217
    20576 ÷ 131072     		y = 0.156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218994140625 × 2 - 1) × π
    -0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156982421875 × 2 - 1) × π
    0.68603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15524300691772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76561189} λ = -1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15524300691772))-π/2
    2×atan(8.62998707073689)-π/2
    2×1.45543577845478-π/2
    2.91087155690956-1.57079632675     		φ = 1.34007523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34007523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.780655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28704 KachelY 20576 -1.76561189 1.34007523 -101.162110 76.780655
    Oben rechts KachelX + 1 28705 KachelY 20576 -1.76556395 1.34007523 -101.159363 76.780655
    Unten links KachelX 28704 KachelY + 1 20577 -1.76561189 1.34006427 -101.162110 76.780027
    Unten rechts KachelX + 1 28705 KachelY + 1 20577 -1.76556395 1.34006427 -101.159363 76.780027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34007523-1.34006427) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34007523-1.34006427) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76561189--1.76556395) × cos(1.34007523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228679571919137 × 6371000     		do = 69.84462747624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76561189--1.76556395) × cos(1.34006427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228690241484561 × 6371000     		du = 69.8478862361549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34007523)-sin(1.34006427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228679571919137-0.228690241484561)×R²
    abs(-1.76556395--1.76561189)×1.06695654233657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06695654233657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06695654233657e-05×40589641000000     		ar = 4877.09590674545m²