Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28703 / 42395
↖ ↑ ↗
← S 46.660748°
W 22.329712°		 ← 419.19 m → S 46.660748°
W 22.324219°		 →
↑
419.15 m
↓
↑
419.15 m
↓
S 46.664517°
W 22.329712°		 ← 419.16 m →
175 698 m²		 S 46.664517°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437980651855469 y=0.646903991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437980651855469 × 216)
    floor (0.437980651855469 × 65536)
    floor (28703.5)     		tx = 28703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646903991699219 × 216)
    floor (0.646903991699219 × 65536)
    floor (42395.5)     		ty = 42395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28703 / 42395 ti = "16/28703/42395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28703/42395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28703 ÷ 216
    28703 ÷ 65536     		x = 0.437973022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42395 ÷ 216
    42395 ÷ 65536     		y = 0.646896362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437973022460938 × 2 - 1) × π
    -0.124053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38972699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646896362304688 × 2 - 1) × π
    -0.293792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.922977065284561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38972699} λ = -0.38972699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922977065284561))-π/2
    2×atan(0.397334388151582)-π/2
    2×0.378206325762799-π/2
    0.756412651525599-1.57079632675     		φ = -0.81438368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38972699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.329712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81438368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.660748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28703 KachelY 42395 -0.38972699 -0.81438368 -22.329712 -46.660748
    Oben rechts KachelX + 1 28704 KachelY 42395 -0.38963112 -0.81438368 -22.324219 -46.660748
    Unten links KachelX 28703 KachelY + 1 42396 -0.38972699 -0.81444947 -22.329712 -46.664517
    Unten rechts KachelX + 1 28704 KachelY + 1 42396 -0.38963112 -0.81444947 -22.324219 -46.664517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81438368--0.81444947) × R
    6.57899999999545e-05 × 6371000     		dl = 419.14808999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81438368--0.81444947) × R
    6.57899999999545e-05 × 6371000     		dr = 419.14808999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(-0.81438368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686316775005604 × 6371000     		do = 419.193892519255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(-0.81444947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.686268924272678 × 6371000     		du = 419.164665876799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81438368)-sin(-0.81444947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686316775005604-0.686268924272678)×R²
    abs(-0.38963112--0.38972699)×4.78507329257916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78507329257916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78507329257916e-05×40589641000000     		ar = 175698.194306571m²