Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28703 / 20574
↖ ↑ ↗
← N 76.781911°
W101.164856°		 ← 69.82 m → N 76.781911°
W101.162110°		 →
↑
69.83 m
↓
↑
69.83 m
↓
N 76.781283°
W101.164856°		 ← 69.83 m →
4 876 m²		 N 76.781283°
W101.162110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218990325927734 y=0.156970977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218990325927734 × 217)
    floor (0.218990325927734 × 131072)
    floor (28703.5)     		tx = 28703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156970977783203 × 217)
    floor (0.156970977783203 × 131072)
    floor (20574.5)     		ty = 20574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28703 / 20574 ti = "17/28703/20574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28703/20574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28703 ÷ 217
    28703 ÷ 131072     		x = 0.218986511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20574 ÷ 217
    20574 ÷ 131072     		y = 0.156967163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218986511230469 × 2 - 1) × π
    -0.562026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.76565982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156967163085938 × 2 - 1) × π
    0.686065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15533888071696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76565982} λ = -1.76565982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15533888071696))-π/2
    2×atan(8.63081450004852)-π/2
    2×1.4554467401329-π/2
    2.91089348026581-1.57079632675     		φ = 1.34009715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76565982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.164856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34009715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.781911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28703 KachelY 20574 -1.76565982 1.34009715 -101.164856 76.781911
    Oben rechts KachelX + 1 28704 KachelY 20574 -1.76561189 1.34009715 -101.162110 76.781911
    Unten links KachelX 28703 KachelY + 1 20575 -1.76565982 1.34008619 -101.164856 76.781283
    Unten rechts KachelX + 1 28704 KachelY + 1 20575 -1.76561189 1.34008619 -101.162110 76.781283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34009715-1.34008619) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dl = 69.8261600000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34009715-1.34008619) × R
    1.09600000000043e-05 × 6371000     		dr = 69.8261600000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76565982--1.76561189) × cos(1.34009715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228658232705884 × 6371000     		do = 69.8235421153239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76565982--1.76561189) × cos(1.34008619) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228668902326245 × 6371000     		du = 69.8268002122566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34009715)-sin(1.34008619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228658232705884-0.228668902326245)×R²
    abs(-1.76561189--1.76565982)×1.06696203607815e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06696203607815e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06696203607815e-05×40589641000000     		ar = 4875.62357382002m²