Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28703 / 14922
↖ ↑ ↗
← N 69.515303°
W 22.329712°		 ← 213.75 m → N 69.515303°
W 22.324219°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
N 69.513380°
W 22.329712°		 ← 213.77 m →
45 690 m²		 N 69.513380°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437980651855469 y=0.227699279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437980651855469 × 216)
    floor (0.437980651855469 × 65536)
    floor (28703.5)     		tx = 28703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227699279785156 × 216)
    floor (0.227699279785156 × 65536)
    floor (14922.5)     		ty = 14922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28703 / 14922 ti = "16/28703/14922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28703/14922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28703 ÷ 216
    28703 ÷ 65536     		x = 0.437973022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14922 ÷ 216
    14922 ÷ 65536     		y = 0.227691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437973022460938 × 2 - 1) × π
    -0.124053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38972699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227691650390625 × 2 - 1) × π
    0.54461669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71096382123904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38972699} λ = -0.38972699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71096382123904))-π/2
    2×atan(5.53429297701945)-π/2
    2×1.39203361829123-π/2
    2.78406723658245-1.57079632675     		φ = 1.21327091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38972699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.329712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21327091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.515303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28703 KachelY 14922 -0.38972699 1.21327091 -22.329712 69.515303
    Oben rechts KachelX + 1 28704 KachelY 14922 -0.38963112 1.21327091 -22.324219 69.515303
    Unten links KachelX 28703 KachelY + 1 14923 -0.38972699 1.21323736 -22.329712 69.513380
    Unten rechts KachelX + 1 28704 KachelY + 1 14923 -0.38963112 1.21323736 -22.324219 69.513380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21327091-1.21323736) × R
    3.35500000001598e-05 × 6371000     		dl = 213.747050001018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21327091-1.21323736) × R
    3.35500000001598e-05 × 6371000     		dr = 213.747050001018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(1.21327091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349957202491144 × 6371000     		do = 213.749579305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(1.21323736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.349988630783054 × 6371000     		du = 213.76877532133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21327091)-sin(1.21323736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349957202491144-0.349988630783054)×R²
    abs(-0.38963112--0.38972699)×3.14282919098852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.14282919098852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14282919098852e-05×40589641000000     		ar = 45690.3935655277m²