Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28703 / 14878
↖ ↑ ↗
← N 69.599720°
W 22.329712°		 ← 212.91 m → N 69.599720°
W 22.324219°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 69.597805°
W 22.329712°		 ← 212.93 m →
45 334 m²		 N 69.597805°
W 22.324219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437980651855469 y=0.227027893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437980651855469 × 216)
    floor (0.437980651855469 × 65536)
    floor (28703.5)     		tx = 28703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227027893066406 × 216)
    floor (0.227027893066406 × 65536)
    floor (14878.5)     		ty = 14878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28703 / 14878 ti = "16/28703/14878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28703/14878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28703 ÷ 216
    28703 ÷ 65536     		x = 0.437973022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14878 ÷ 216
    14878 ÷ 65536     		y = 0.227020263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437973022460938 × 2 - 1) × π
    -0.124053955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38972699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227020263671875 × 2 - 1) × π
    0.54595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71518226840561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38972699} λ = -0.38972699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71518226840561))-π/2
    2×atan(5.55768841105446)-π/2
    2×1.39277029948003-π/2
    2.78554059896007-1.57079632675     		φ = 1.21474427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38972699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.329712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21474427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.599720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28703 KachelY 14878 -0.38972699 1.21474427 -22.329712 69.599720
    Oben rechts KachelX + 1 28704 KachelY 14878 -0.38963112 1.21474427 -22.324219 69.599720
    Unten links KachelX 28703 KachelY + 1 14879 -0.38972699 1.21471085 -22.329712 69.597805
    Unten rechts KachelX + 1 28704 KachelY + 1 14879 -0.38963112 1.21471085 -22.324219 69.597805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21474427-1.21471085) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21474427-1.21471085) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(1.21474427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		do = 212.906342544189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38972699--0.38963112) × cos(1.21471085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348607953765474 × 6371000     		du = 212.925474684672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21474427)-sin(1.21471085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348576630053011-0.348607953765474)×R²
    abs(-0.38963112--0.38972699)×3.13237124628385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13237124628385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13237124628385e-05×40589641000000     		ar = 45333.8040257858m²