Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28702 / 20518
↖ ↑ ↗
← N 76.817035°
W101.167603°		 ← 69.66 m → N 76.817035°
W101.164856°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.816408°
W101.167603°		 ← 69.66 m →
4 855 m²		 N 76.816408°
W101.164856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218982696533203 y=0.156543731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218982696533203 × 217)
    floor (0.218982696533203 × 131072)
    floor (28702.5)     		tx = 28702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156543731689453 × 217)
    floor (0.156543731689453 × 131072)
    floor (20518.5)     		ty = 20518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28702 / 20518 ti = "17/28702/20518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28702/20518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28702 ÷ 217
    28702 ÷ 131072     		x = 0.218978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20518 ÷ 217
    20518 ÷ 131072     		y = 0.156539916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.562042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76570776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156539916992188 × 2 - 1) × π
    0.686920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15802334709569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76570776} λ = -1.76570776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15802334709569))-π/2
    2×atan(8.65401475761816)-π/2
    2×1.45575325209272-π/2
    2.91150650418543-1.57079632675     		φ = 1.34071018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76570776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34071018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.817035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28702 KachelY 20518 -1.76570776 1.34071018 -101.167603 76.817035
    Oben rechts KachelX + 1 28703 KachelY 20518 -1.76565982 1.34071018 -101.164856 76.817035
    Unten links KachelX 28702 KachelY + 1 20519 -1.76570776 1.34069924 -101.167603 76.816408
    Unten rechts KachelX + 1 28703 KachelY + 1 20519 -1.76565982 1.34069924 -101.164856 76.816408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34071018-1.34069924) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dl = 69.6987400008018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34071018-1.34069924) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dr = 69.6987400008018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76570776--1.76565982) × cos(1.34071018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228061400928371 × 6371000     		do = 69.6558221439388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76570776--1.76565982) × cos(1.34069924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228072052610189 × 6371000     		du = 69.6590754417403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34071018)-sin(1.34069924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228061400928371-0.228072052610189)×R²
    abs(-1.76565982--1.76570776)×1.06516818176583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06516818176583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06516818176583e-05×40589641000000     		ar = 4855.0364126528m²