Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28702 / 14877
↖ ↑ ↗
← N 69.601635°
W 22.335205°		 ← 212.91 m → N 69.601635°
W 22.329712°		 →
↑
212.92 m
↓
↑
212.92 m
↓
N 69.599720°
W 22.335205°		 ← 212.93 m →
45 334 m²		 N 69.599720°
W 22.329712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437965393066406 y=0.227012634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437965393066406 × 216)
    floor (0.437965393066406 × 65536)
    floor (28702.5)     		tx = 28702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227012634277344 × 216)
    floor (0.227012634277344 × 65536)
    floor (14877.5)     		ty = 14877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28702 / 14877 ti = "16/28702/14877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28702/14877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28702 ÷ 216
    28702 ÷ 65536     		x = 0.437957763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14877 ÷ 216
    14877 ÷ 65536     		y = 0.227005004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.12408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38982287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227005004882812 × 2 - 1) × π
    0.545989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71527814220485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38982287} λ = -0.38982287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71527814220485))-π/2
    2×atan(5.55822127330077)-π/2
    2×1.39278700841211-π/2
    2.78557401682422-1.57079632675     		φ = 1.21477769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38982287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.335205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21477769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.601635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28702 KachelY 14877 -0.38982287 1.21477769 -22.335205 69.601635
    Oben rechts KachelX + 1 28703 KachelY 14877 -0.38972699 1.21477769 -22.329712 69.601635
    Unten links KachelX 28702 KachelY + 1 14878 -0.38982287 1.21474427 -22.335205 69.599720
    Unten rechts KachelX + 1 28703 KachelY + 1 14878 -0.38972699 1.21474427 -22.329712 69.599720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21477769-1.21474427) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dl = 212.918820000393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21477769-1.21474427) × R
    3.34200000000617e-05 × 6371000     		dr = 212.918820000393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38982287--0.38972699) × cos(1.21477769) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348545305951224 × 6371000     		do = 212.909415987342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38982287--0.38972699) × cos(1.21474427) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.348576630053011 × 6371000     		du = 212.928550361278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21477769)-sin(1.21474427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348545305951224-0.348576630053011)×R²
    abs(-0.38972699--0.38982287)×3.1324101786856e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.1324101786856e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.1324101786856e-05×40589641000000     		ar = 45334.4586575725m²