Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28700 / 14920
↖ ↑ ↗
← N 69.519147°
W 22.346192°		 ← 213.73 m → N 69.519147°
W 22.340698°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
N 69.517225°
W 22.346192°		 ← 213.75 m →
45 687 m²		 N 69.517225°
W 22.340698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437934875488281 y=0.227668762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437934875488281 × 216)
    floor (0.437934875488281 × 65536)
    floor (28700.5)     		tx = 28700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227668762207031 × 216)
    floor (0.227668762207031 × 65536)
    floor (14920.5)     		ty = 14920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28700 / 14920 ti = "16/28700/14920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28700/14920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28700 ÷ 216
    28700 ÷ 65536     		x = 0.43792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14920 ÷ 216
    14920 ÷ 65536     		y = 0.2276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.1241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39001462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2276611328125 × 2 - 1) × π
    0.544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71115556883752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39001462} λ = -0.39001462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71115556883752))-π/2
    2×atan(5.53535426615365)-π/2
    2×1.39206716700465-π/2
    2.7841343340093-1.57079632675     		φ = 1.21333801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39001462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.346192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21333801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.519147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28700 KachelY 14920 -0.39001462 1.21333801 -22.346192 69.519147
    Oben rechts KachelX + 1 28701 KachelY 14920 -0.38991874 1.21333801 -22.340698 69.519147
    Unten links KachelX 28700 KachelY + 1 14921 -0.39001462 1.21330446 -22.346192 69.517225
    Unten rechts KachelX + 1 28701 KachelY + 1 14921 -0.38991874 1.21330446 -22.340698 69.517225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21333801-1.21330446) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dl = 213.747049999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21333801-1.21330446) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dr = 213.747049999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39001462--0.38991874) × cos(1.21333801) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349894344725622 × 6371000     		do = 213.73347831926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39001462--0.38991874) × cos(1.21330446) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.349925773805322 × 6371000     		du = 213.75267681911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21333801)-sin(1.21330446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349894344725622-0.349925773805322)×R²
    abs(-0.38991874--0.39001462)×3.14290796997185e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.14290796997185e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.14290796997185e-05×40589641000000     		ar = 45686.9522925815m²