Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 287 / 355
↖ ↑ ↗
← S 56.944974°
E 21.796875°		 ← 42.645 km → S 56.944974°
E 22.500000°		 →
↑
42.426 km
↓
↑
42.426 km
↓
S 57.326521°
E 21.796875°		 ← 42.208 km →
1 799.99 km²		 S 57.326521°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5615234375 y=0.6943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5615234375 × 29)
    floor (0.5615234375 × 512)
    floor (287.5)     		tx = 287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6943359375 × 29)
    floor (0.6943359375 × 512)
    floor (355.5)     		ty = 355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 287 / 355 ti = "9/287/355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/287/355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 287 ÷ 29
    287 ÷ 512     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 355 ÷ 29
    355 ÷ 512     		y = 0.693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693359375 × 2 - 1) × π
    -0.38671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2149127839707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2149127839707))-π/2
    2×atan(0.29673589329186)-π/2
    2×0.288459517447408-π/2
    0.576919034894816-1.57079632675     		φ = -0.99387729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99387729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.944974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 287 KachelY 355 0.38042724 -0.99387729 21.796875 -56.944974
    Oben rechts KachelX + 1 288 KachelY 355 0.39269908 -0.99387729 22.500000 -56.944974
    Unten links KachelX 287 KachelY + 1 356 0.38042724 -1.00053654 21.796875 -57.326521
    Unten rechts KachelX + 1 288 KachelY + 1 356 0.39269908 -1.00053654 22.500000 -57.326521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99387729--1.00053654) × R
    0.00665924999999989 × 6371000     		dl = 42426.0817499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99387729--1.00053654) × R
    0.00665924999999989 × 6371000     		dr = 42426.0817499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.39269908) × cos(-0.99387729) × R
    0.01227184 × 0.545444229211031 × 6371000     		do = 42644.9530577428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.39269908) × cos(-1.00053654) × R
    0.01227184 × 0.539850745277805 × 6371000     		du = 42207.6327104238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99387729)-sin(-1.00053654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545444229211031-0.539850745277805)×R²
    abs(0.39269908-0.38042724)×0.00559348393322634×R²
    0.01227184×0.00559348393322634×6371000²
    0.01227184×0.00559348393322634×40589641000000     		ar = 1799988022.05176m²