Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28699 / 43560
↖ ↑ ↗
← S 50.875311°
W 22.351685°		 ← 385.41 m → S 50.875311°
W 22.346192°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
S 50.878777°
W 22.351685°		 ← 385.38 m →
148 526 m²		 S 50.878777°
W 22.346192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437919616699219 y=0.664680480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437919616699219 × 216)
    floor (0.437919616699219 × 65536)
    floor (28699.5)     		tx = 28699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664680480957031 × 216)
    floor (0.664680480957031 × 65536)
    floor (43560.5)     		ty = 43560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28699 / 43560 ti = "16/28699/43560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28699/43560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28699 ÷ 216
    28699 ÷ 65536     		x = 0.437911987304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43560 ÷ 216
    43560 ÷ 65536     		y = 0.6646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437911987304688 × 2 - 1) × π
    -0.124176025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39011049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03467004139929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39011049} λ = -0.39011049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03467004139929))-π/2
    2×atan(0.355343610263887)-π/2
    2×0.341427319702799-π/2
    0.682854639405597-1.57079632675     		φ = -0.88794169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39011049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.351685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88794169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.875311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28699 KachelY 43560 -0.39011049 -0.88794169 -22.351685 -50.875311
    Oben rechts KachelX + 1 28700 KachelY 43560 -0.39001462 -0.88794169 -22.346192 -50.875311
    Unten links KachelX 28699 KachelY + 1 43561 -0.39011049 -0.88800218 -22.351685 -50.878777
    Unten rechts KachelX + 1 28700 KachelY + 1 43561 -0.39001462 -0.88800218 -22.346192 -50.878777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88794169--0.88800218) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dl = 385.3817899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88794169--0.88800218) × R
    6.04899999999686e-05 × 6371000     		dr = 385.3817899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39011049--0.39001462) × cos(-0.88794169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.631010146697332 × 6371000     		do = 385.413280348628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39011049--0.39001462) × cos(-0.88800218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		du = 385.384617447603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88794169)-sin(-0.88800218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631010146697332-0.630963218938735)×R²
    abs(-0.39001462--0.39011049)×4.69277585971595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69277585971595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69277585971595e-05×40589641000000     		ar = 148525.736835566m²