Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28699 / 20489
↖ ↑ ↗
← N 76.835188°
W101.175842°		 ← 69.56 m → N 76.835188°
W101.173095°		 →
↑
69.57 m
↓
↑
69.57 m
↓
N 76.834562°
W101.175842°		 ← 69.56 m →
4 840 m²		 N 76.834562°
W101.173095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218959808349609 y=0.156322479248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218959808349609 × 217)
    floor (0.218959808349609 × 131072)
    floor (28699.5)     		tx = 28699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156322479248047 × 217)
    floor (0.156322479248047 × 131072)
    floor (20489.5)     		ty = 20489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28699 / 20489 ti = "17/28699/20489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28699/20489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28699 ÷ 217
    28699 ÷ 131072     		x = 0.218955993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20489 ÷ 217
    20489 ÷ 131072     		y = 0.156318664550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218955993652344 × 2 - 1) × π
    -0.562088012695312 × 3.1415926535     		Λ = -1.76585157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156318664550781 × 2 - 1) × π
    0.687362670898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.15941351718467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76585157} λ = -1.76585157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15941351718467))-π/2
    2×atan(8.66605367621724)-π/2
    2×1.45591166692668-π/2
    2.91182333385335-1.57079632675     		φ = 1.34102701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76585157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.175842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34102701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.835188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28699 KachelY 20489 -1.76585157 1.34102701 -101.175842 76.835188
    Oben rechts KachelX + 1 28700 KachelY 20489 -1.76580363 1.34102701 -101.173095 76.835188
    Unten links KachelX 28699 KachelY + 1 20490 -1.76585157 1.34101609 -101.175842 76.834562
    Unten rechts KachelX + 1 28700 KachelY + 1 20490 -1.76580363 1.34101609 -101.173095 76.834562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34102701-1.34101609) × R
    1.09199999998033e-05 × 6371000     		dl = 69.5713199987469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34102701-1.34101609) × R
    1.09199999998033e-05 × 6371000     		dr = 69.5713199987469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76585157--1.76580363) × cos(1.34102701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227752908986597 × 6371000     		do = 69.5616007643384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76585157--1.76580363) × cos(1.34101609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227763541984057 × 6371000     		du = 69.564848355456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34102701)-sin(1.34101609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227752908986597-0.227763541984057)×R²
    abs(-1.76580363--1.76585157)×1.06329974599861e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06329974599861e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06329974599861e-05×40589641000000     		ar = 4839.60535611655m²