Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28697 / 4593
↖ ↑ ↗
← N 78.096030°
E135.274658°		 ← 251.99 m → N 78.096030°
E135.285645°		 →
↑
252.04 m
↓
↑
252.04 m
↓
N 78.093763°
E135.274658°		 ← 252.04 m →
63 517 m²		 N 78.093763°
E135.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875778198242188 y=0.140182495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875778198242188 × 215)
    floor (0.875778198242188 × 32768)
    floor (28697.5)     		tx = 28697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140182495117188 × 215)
    floor (0.140182495117188 × 32768)
    floor (4593.5)     		ty = 4593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28697 / 4593 ti = "15/28697/4593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28697/4593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28697 ÷ 215
    28697 ÷ 32768     		x = 0.875762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4593 ÷ 215
    4593 ÷ 32768     		y = 0.140167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875762939453125 × 2 - 1) × π
    0.75152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36098818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140167236328125 × 2 - 1) × π
    0.71966552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26089593368033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36098818} λ = 2.36098818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26089593368033))-π/2
    2×atan(9.59167882641859)-π/2
    2×1.46691458836704-π/2
    2.93382917673408-1.57079632675     		φ = 1.36303285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36098818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.274658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36303285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.096030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28697 KachelY 4593 2.36098818 1.36303285 135.274658 78.096030
    Oben rechts KachelX + 1 28698 KachelY 4593 2.36117993 1.36303285 135.285645 78.096030
    Unten links KachelX 28697 KachelY + 1 4594 2.36098818 1.36299329 135.274658 78.093763
    Unten rechts KachelX + 1 28698 KachelY + 1 4594 2.36117993 1.36299329 135.285645 78.093763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36303285-1.36299329) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dl = 252.036760000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36303285-1.36299329) × R
    3.95600000000496e-05 × 6371000     		dr = 252.036760000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36098818-2.36117993) × cos(1.36303285) × R
    0.000191749999999935 × 0.206271991471827 × 6371000     		do = 251.989960957564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36098818-2.36117993) × cos(1.36299329) × R
    0.000191749999999935 × 0.206310700560491 × 6371000     		du = 252.037249499608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36303285)-sin(1.36299329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206271991471827-0.206310700560491)×R²
    abs(2.36117993-2.36098818)×3.87090886642405e-05×R²
    0.000191749999999935×3.87090886642405e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.87090886642405e-05×40589641000000     		ar = 63516.6925461237m²