Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28696 / 43561
↖ ↑ ↗
← S 50.878777°
W 22.368164°		 ← 385.38 m → S 50.878777°
W 22.362671°		 →
↑
385.38 m
↓
↑
385.38 m
↓
S 50.882243°
W 22.368164°		 ← 385.36 m →
148 515 m²		 S 50.882243°
W 22.362671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437873840332031 y=0.664695739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437873840332031 × 216)
    floor (0.437873840332031 × 65536)
    floor (28696.5)     		tx = 28696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664695739746094 × 216)
    floor (0.664695739746094 × 65536)
    floor (43561.5)     		ty = 43561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28696 / 43561 ti = "16/28696/43561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28696/43561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28696 ÷ 216
    28696 ÷ 65536     		x = 0.4378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43561 ÷ 216
    43561 ÷ 65536     		y = 0.664688110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664688110351562 × 2 - 1) × π
    -0.329376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03476591519853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39039811} λ = -0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03476591519853))-π/2
    2×atan(0.355309543755004)-π/2
    2×0.341397072157525-π/2
    0.68279414431505-1.57079632675     		φ = -0.88800218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88800218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.878777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28696 KachelY 43561 -0.39039811 -0.88800218 -22.368164 -50.878777
    Oben rechts KachelX + 1 28697 KachelY 43561 -0.39030224 -0.88800218 -22.362671 -50.878777
    Unten links KachelX 28696 KachelY + 1 43562 -0.39039811 -0.88806267 -22.368164 -50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 28697 KachelY + 1 43562 -0.39030224 -0.88806267 -22.362671 -50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88800218--0.88806267) × R
    6.04900000000796e-05 × 6371000     		dl = 385.381790000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88800218--0.88806267) × R
    6.04900000000796e-05 × 6371000     		dr = 385.381790000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39039811--0.39030224) × cos(-0.88800218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		do = 385.384617447603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39039811--0.39030224) × cos(-0.88806267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 385.355953136441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88800218)-sin(-0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630963218938735-0.630916288871418)×R²
    abs(-0.39030224--0.39039811)×4.69300673170414e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69300673170414e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69300673170414e-05×40589641000000     		ar = 148514.690404278m²