Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28696 / 14872
↖ ↑ ↗
← N 69.611205°
W 22.368164°		 ← 212.79 m → N 69.611205°
W 22.362671°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
N 69.609292°
W 22.368164°		 ← 212.81 m →
45 282 m²		 N 69.609292°
W 22.362671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437873840332031 y=0.226936340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437873840332031 × 216)
    floor (0.437873840332031 × 65536)
    floor (28696.5)     		tx = 28696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226936340332031 × 216)
    floor (0.226936340332031 × 65536)
    floor (14872.5)     		ty = 14872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28696 / 14872 ti = "16/28696/14872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28696/14872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28696 ÷ 216
    28696 ÷ 65536     		x = 0.4378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14872 ÷ 216
    14872 ÷ 65536     		y = 0.2269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    -0.124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39039811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2269287109375 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71575751120105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39039811} λ = -0.39039811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71575751120105))-π/2
    2×atan(5.56088635097999)-π/2
    2×1.39287053055342-π/2
    2.78574106110684-1.57079632675     		φ = 1.21494473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39039811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.368164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21494473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.611205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28696 KachelY 14872 -0.39039811 1.21494473 -22.368164 69.611205
    Oben rechts KachelX + 1 28697 KachelY 14872 -0.39030224 1.21494473 -22.362671 69.611205
    Unten links KachelX 28696 KachelY + 1 14873 -0.39039811 1.21491133 -22.368164 69.609292
    Unten rechts KachelX + 1 28697 KachelY + 1 14873 -0.39030224 1.21491133 -22.362671 69.609292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21494473-1.21491133) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dl = 212.791399999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21494473-1.21491133) × R
    3.33999999999612e-05 × 6371000     		dr = 212.791399999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39039811--0.39030224) × cos(1.21494473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348388735844664 × 6371000     		do = 212.791579059677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39039811--0.39030224) × cos(1.21491133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348420043145077 × 6371000     		du = 212.810701175881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21494473)-sin(1.21491133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348388735844664-0.348420043145077)×R²
    abs(-0.39030224--0.39039811)×3.13073004131748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.13073004131748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.13073004131748e-05×40589641000000     		ar = 45282.2525314129m²