Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28695 / 40471
↖ ↑ ↗
← S 38.920955°
W 22.373657°		 ← 475.20 m → S 38.920955°
W 22.368164°		 →
↑
475.21 m
↓
↑
475.21 m
↓
S 38.925229°
W 22.373657°		 ← 475.17 m →
225 815 m²		 S 38.925229°
W 22.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437858581542969 y=0.617546081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437858581542969 × 216)
    floor (0.437858581542969 × 65536)
    floor (28695.5)     		tx = 28695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617546081542969 × 216)
    floor (0.617546081542969 × 65536)
    floor (40471.5)     		ty = 40471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28695 / 40471 ti = "16/28695/40471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28695/40471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28695 ÷ 216
    28695 ÷ 65536     		x = 0.437850952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40471 ÷ 216
    40471 ÷ 65536     		y = 0.617538452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437850952148438 × 2 - 1) × π
    -0.124298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39049398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617538452148438 × 2 - 1) × π
    -0.235076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.738515875546585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39049398} λ = -0.39049398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.738515875546585))-π/2
    2×atan(0.477822537661778)-π/2
    2×0.445748753351116-π/2
    0.891497506702231-1.57079632675     		φ = -0.67929882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39049398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.373657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67929882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.920955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28695 KachelY 40471 -0.39049398 -0.67929882 -22.373657 -38.920955
    Oben rechts KachelX + 1 28696 KachelY 40471 -0.39039811 -0.67929882 -22.368164 -38.920955
    Unten links KachelX 28695 KachelY + 1 40472 -0.39049398 -0.67937341 -22.373657 -38.925229
    Unten rechts KachelX + 1 28696 KachelY + 1 40472 -0.39039811 -0.67937341 -22.368164 -38.925229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67929882--0.67937341) × R
    7.45899999999855e-05 × 6371000     		dl = 475.212889999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67929882--0.67937341) × R
    7.45899999999855e-05 × 6371000     		dr = 475.212889999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39049398--0.39039811) × cos(-0.67929882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.778013424659256 × 6371000     		do = 475.20108467768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39049398--0.39039811) × cos(-0.67937341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.777966561502704 × 6371000     		du = 475.172461234794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67929882)-sin(-0.67937341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778013424659256-0.777966561502704)×R²
    abs(-0.39039811--0.39049398)×4.68631565526678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68631565526678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68631565526678e-05×40589641000000     		ar = 225814.879770679m²