Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28693 / 42379
↖ ↑ ↗
← S 46.600393°
W 22.384643°		 ← 419.66 m → S 46.600393°
W 22.379150°		 →
↑
419.66 m
↓
↑
419.66 m
↓
S 46.604167°
W 22.384643°		 ← 419.63 m →
176 108 m²		 S 46.604167°
W 22.379150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437828063964844 y=0.646659851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437828063964844 × 216)
    floor (0.437828063964844 × 65536)
    floor (28693.5)     		tx = 28693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646659851074219 × 216)
    floor (0.646659851074219 × 65536)
    floor (42379.5)     		ty = 42379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28693 / 42379 ti = "16/28693/42379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28693/42379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28693 ÷ 216
    28693 ÷ 65536     		x = 0.437820434570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42379 ÷ 216
    42379 ÷ 65536     		y = 0.646652221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437820434570312 × 2 - 1) × π
    -0.124359130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39068573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646652221679688 × 2 - 1) × π
    -0.293304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.921443084496719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39068573} λ = -0.39068573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921443084496719))-π/2
    2×atan(0.397944359191674)-π/2
    2×0.378733017793936-π/2
    0.757466035587873-1.57079632675     		φ = -0.81333029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39068573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.384643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81333029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.600393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28693 KachelY 42379 -0.39068573 -0.81333029 -22.384643 -46.600393
    Oben rechts KachelX + 1 28694 KachelY 42379 -0.39058986 -0.81333029 -22.379150 -46.600393
    Unten links KachelX 28693 KachelY + 1 42380 -0.39068573 -0.81339616 -22.384643 -46.604167
    Unten rechts KachelX + 1 28694 KachelY + 1 42380 -0.39058986 -0.81339616 -22.379150 -46.604167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81333029--0.81339616) × R
    6.58700000000234e-05 × 6371000     		dl = 419.657770000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81333029--0.81339616) × R
    6.58700000000234e-05 × 6371000     		dr = 419.657770000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39068573--0.39058986) × cos(-0.81333029) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687082527524555 × 6371000     		do = 419.661604792677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39068573--0.39058986) × cos(-0.81339616) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687034666250029 × 6371000     		du = 419.63237171154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81333029)-sin(-0.81339616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687082527524555-0.687034666250029)×R²
    abs(-0.39058986--0.39068573)×4.78612745258289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78612745258289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78612745258289e-05×40589641000000     		ar = 176108.119340934m²