Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28692 / 43508
↖ ↑ ↗
← S 50.694718°
W 22.390137°		 ← 386.95 m → S 50.694718°
W 22.384643°		 →
↑
386.91 m
↓
↑
386.91 m
↓
S 50.698197°
W 22.390137°		 ← 386.92 m →
149 708 m²		 S 50.698197°
W 22.384643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437812805175781 y=0.663887023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437812805175781 × 216)
    floor (0.437812805175781 × 65536)
    floor (28692.5)     		tx = 28692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663887023925781 × 216)
    floor (0.663887023925781 × 65536)
    floor (43508.5)     		ty = 43508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28692 / 43508 ti = "16/28692/43508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28692/43508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28692 ÷ 216
    28692 ÷ 65536     		x = 0.43780517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43508 ÷ 216
    43508 ÷ 65536     		y = 0.66387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43780517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1243896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39078161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66387939453125 × 2 - 1) × π
    -0.3277587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02968460383881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39078161} λ = -0.39078161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02968460383881))-π/2
    2×atan(0.357119576952484)-π/2
    2×0.343003293583786-π/2
    0.686006587167572-1.57079632675     		φ = -0.88478974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39078161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.390137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88478974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.694718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28692 KachelY 43508 -0.39078161 -0.88478974 -22.390137 -50.694718
    Oben rechts KachelX + 1 28693 KachelY 43508 -0.39068573 -0.88478974 -22.384643 -50.694718
    Unten links KachelX 28692 KachelY + 1 43509 -0.39078161 -0.88485047 -22.390137 -50.698197
    Unten rechts KachelX + 1 28693 KachelY + 1 43509 -0.39068573 -0.88485047 -22.384643 -50.698197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88478974--0.88485047) × R
    6.07299999999533e-05 × 6371000     		dl = 386.910829999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88478974--0.88485047) × R
    6.07299999999533e-05 × 6371000     		dr = 386.910829999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39078161--0.39068573) × cos(-0.88478974) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.633452210853778 × 6371000     		do = 386.945220509273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39078161--0.39068573) × cos(-0.88485047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63340521791608 × 6371000     		du = 386.91651480373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88478974)-sin(-0.88485047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633452210853778-0.63340521791608)×R²
    abs(-0.39068573--0.39078161)×4.69929376980538e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69929376980538e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69929376980538e-05×40589641000000     		ar = 149707.743203573m²