Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28688 / 4547
↖ ↑ ↗
← N 78.199825°
E135.175781°		 ← 249.82 m → N 78.199825°
E135.186768°		 →
↑
249.87 m
↓
↑
249.87 m
↓
N 78.197578°
E135.175781°		 ← 249.87 m →
62 430 m²		 N 78.197578°
E135.186768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875503540039062 y=0.138778686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875503540039062 × 215)
    floor (0.875503540039062 × 32768)
    floor (28688.5)     		tx = 28688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138778686523438 × 215)
    floor (0.138778686523438 × 32768)
    floor (4547.5)     		ty = 4547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28688 / 4547 ti = "15/28688/4547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28688/4547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28688 ÷ 215
    28688 ÷ 32768     		x = 0.87548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4547 ÷ 215
    4547 ÷ 32768     		y = 0.138763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    0.7509765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35926245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138763427734375 × 2 - 1) × π
    0.72247314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26971632321042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35926245} λ = 2.35926245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26971632321042))-π/2
    2×atan(9.6766553821509)-π/2
    2×1.46782037312282-π/2
    2.93564074624564-1.57079632675     		φ = 1.36484442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35926245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36484442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.199825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28688 KachelY 4547 2.35926245 1.36484442 135.175781 78.199825
    Oben rechts KachelX + 1 28689 KachelY 4547 2.35945420 1.36484442 135.186768 78.199825
    Unten links KachelX 28688 KachelY + 1 4548 2.35926245 1.36480520 135.175781 78.197578
    Unten rechts KachelX + 1 28689 KachelY + 1 4548 2.35945420 1.36480520 135.186768 78.197578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36484442-1.36480520) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dl = 249.870620000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36484442-1.36480520) × R
    3.92200000001175e-05 × 6371000     		dr = 249.870620000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35926245-2.35945420) × cos(1.36484442) × R
    0.000191749999999935 × 0.204499042339016 × 6371000     		do = 249.824056708669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35926245-2.35945420) × cos(1.36480520) × R
    0.000191749999999935 × 0.204537433336209 × 6371000     		du = 249.870956657687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36484442)-sin(1.36480520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204499042339016-0.204537433336209)×R²
    abs(2.35945420-2.35926245)×3.83909971936325e-05×R²
    0.000191749999999935×3.83909971936325e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.83909971936325e-05×40589641000000     		ar = 62429.5514089183m²