Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28687 / 42765
↖ ↑ ↗
← S 48.037692°
W 22.417602°		 ← 408.40 m → S 48.037692°
W 22.412109°		 →
↑
408.44 m
↓
↑
408.44 m
↓
S 48.041365°
W 22.417602°		 ← 408.37 m →
166 802 m²		 S 48.041365°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437736511230469 y=0.652549743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437736511230469 × 216)
    floor (0.437736511230469 × 65536)
    floor (28687.5)     		tx = 28687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652549743652344 × 216)
    floor (0.652549743652344 × 65536)
    floor (42765.5)     		ty = 42765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28687 / 42765 ti = "16/28687/42765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28687/42765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28687 ÷ 216
    28687 ÷ 65536     		x = 0.437728881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42765 ÷ 216
    42765 ÷ 65536     		y = 0.652542114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437728881835938 × 2 - 1) × π
    -0.124542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39126097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652542114257812 × 2 - 1) × π
    -0.305084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.958450371003403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39126097} λ = -0.39126097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958450371003403))-π/2
    2×atan(0.383486687861293)-π/2
    2×0.366190216017556-π/2
    0.732380432035112-1.57079632675     		φ = -0.83841589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39126097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.417602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83841589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.037692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28687 KachelY 42765 -0.39126097 -0.83841589 -22.417602 -48.037692
    Oben rechts KachelX + 1 28688 KachelY 42765 -0.39116510 -0.83841589 -22.412109 -48.037692
    Unten links KachelX 28687 KachelY + 1 42766 -0.39126097 -0.83848000 -22.417602 -48.041365
    Unten rechts KachelX + 1 28688 KachelY + 1 42766 -0.39116510 -0.83848000 -22.412109 -48.041365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83841589--0.83848000) × R
    6.41099999999506e-05 × 6371000     		dl = 408.444809999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83841589--0.83848000) × R
    6.41099999999506e-05 × 6371000     		dr = 408.444809999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39126097--0.39116510) × cos(-0.83841589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668641584493806 × 6371000     		do = 408.398102322229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39126097--0.39116510) × cos(-0.83848000) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.668593911894915 × 6371000     		du = 408.368984481863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83841589)-sin(-0.83848000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668641584493806-0.668593911894915)×R²
    abs(-0.39116510--0.39126097)×4.76725988907134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76725988907134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76725988907134e-05×40589641000000     		ar = 166802.138848701m²