Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28686 / 4595
↖ ↑ ↗
← N 78.091496°
E135.153809°		 ← 252.07 m → N 78.091496°
E135.164795°		 →
↑
252.10 m
↓
↑
252.10 m
↓
N 78.089229°
E135.153809°		 ← 252.12 m →
63 553 m²		 N 78.089229°
E135.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875442504882812 y=0.140243530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875442504882812 × 215)
    floor (0.875442504882812 × 32768)
    floor (28686.5)     		tx = 28686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140243530273438 × 215)
    floor (0.140243530273438 × 32768)
    floor (4595.5)     		ty = 4595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28686 / 4595 ti = "15/28686/4595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28686/4595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28686 ÷ 215
    28686 ÷ 32768     		x = 0.87542724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4595 ÷ 215
    4595 ÷ 32768     		y = 0.140228271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87542724609375 × 2 - 1) × π
    0.7508544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35887896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140228271484375 × 2 - 1) × π
    0.71954345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26051243848337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35887896} λ = 2.35887896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26051243848337))-π/2
    2×atan(9.58800116888495)-π/2
    2×1.46687502878621-π/2
    2.93375005757241-1.57079632675     		φ = 1.36295373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35887896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36295373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.091496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28686 KachelY 4595 2.35887896 1.36295373 135.153809 78.091496
    Oben rechts KachelX + 1 28687 KachelY 4595 2.35907070 1.36295373 135.164795 78.091496
    Unten links KachelX 28686 KachelY + 1 4596 2.35887896 1.36291416 135.153809 78.089229
    Unten rechts KachelX + 1 28687 KachelY + 1 4596 2.35907070 1.36291416 135.164795 78.089229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36295373-1.36291416) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dl = 252.100469999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36295373-1.36291416) × R
    3.95699999999888e-05 × 6371000     		dr = 252.100469999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35887896-2.35907070) × cos(1.36295373) × R
    0.000191739999999996 × 0.20634940932628 × 6371000     		do = 252.071391126426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35887896-2.35907070) × cos(1.36291416) × R
    0.000191739999999996 × 0.206388127553836 × 6371000     		du = 252.118688366161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36295373)-sin(1.36291416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20634940932628-0.206388127553836)×R²
    abs(2.35907070-2.35887896)×3.87182275558007e-05×R²
    0.000191739999999996×3.87182275558007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.87182275558007e-05×40589641000000     		ar = 63553.2780130323m²