Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28686 / 42406
↖ ↑ ↗
← S 46.702202°
W 22.423096°		 ← 418.92 m → S 46.702202°
W 22.417602°		 →
↑
418.83 m
↓
↑
418.83 m
↓
S 46.705969°
W 22.423096°		 ← 418.89 m →
175 448 m²		 S 46.705969°
W 22.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437721252441406 y=0.647071838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437721252441406 × 216)
    floor (0.437721252441406 × 65536)
    floor (28686.5)     		tx = 28686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647071838378906 × 216)
    floor (0.647071838378906 × 65536)
    floor (42406.5)     		ty = 42406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28686 / 42406 ti = "16/28686/42406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28686/42406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28686 ÷ 216
    28686 ÷ 65536     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42406 ÷ 216
    42406 ÷ 65536     		y = 0.647064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647064208984375 × 2 - 1) × π
    -0.29412841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.924031677076202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.924031677076202))-π/2
    2×atan(0.396915575501809)-π/2
    2×0.377844565667425-π/2
    0.755689131334851-1.57079632675     		φ = -0.81510720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81510720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.702202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28686 KachelY 42406 -0.39135685 -0.81510720 -22.423096 -46.702202
    Oben rechts KachelX + 1 28687 KachelY 42406 -0.39126097 -0.81510720 -22.417602 -46.702202
    Unten links KachelX 28686 KachelY + 1 42407 -0.39135685 -0.81517294 -22.423096 -46.705969
    Unten rechts KachelX + 1 28687 KachelY + 1 42407 -0.39126097 -0.81517294 -22.417602 -46.705969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81510720--0.81517294) × R
    6.57399999999253e-05 × 6371000     		dl = 418.829539999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81510720--0.81517294) × R
    6.57399999999253e-05 × 6371000     		dr = 418.829539999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.81510720) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685790377331772 × 6371000     		do = 418.916066962839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.81517294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685742530335783 × 6371000     		du = 418.886839554526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81510720)-sin(-0.81517294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685790377331772-0.685742530335783)×R²
    abs(-0.39126097--0.39135685)×4.78469959884764e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78469959884764e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78469959884764e-05×40589641000000     		ar = 175448.303036587m²