Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28684 / 28748
↖ ↑ ↗
← N 70.543203°
W101.217041°		 ← 101.71 m → N 70.543203°
W101.214295°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 70.542288°
W101.217041°		 ← 101.72 m →
10 349 m²		 N 70.542288°
W101.214295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218845367431641 y=0.219333648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218845367431641 × 217)
    floor (0.218845367431641 × 131072)
    floor (28684.5)     		tx = 28684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219333648681641 × 217)
    floor (0.219333648681641 × 131072)
    floor (28748.5)     		ty = 28748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28684 / 28748 ti = "17/28684/28748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28684/28748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28684 ÷ 217
    28684 ÷ 131072     		x = 0.218841552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28748 ÷ 217
    28748 ÷ 131072     		y = 0.219329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.56231689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.76657062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219329833984375 × 2 - 1) × π
    0.56134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76350266322263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76657062} λ = -1.76657062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76350266322263))-π/2
    2×atan(5.83283210214286)-π/2
    2×1.40100374209763-π/2
    2.80200748419525-1.57079632675     		φ = 1.23121116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76657062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23121116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.543203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28684 KachelY 28748 -1.76657062 1.23121116 -101.217041 70.543203
    Oben rechts KachelX + 1 28685 KachelY 28748 -1.76652269 1.23121116 -101.214295 70.543203
    Unten links KachelX 28684 KachelY + 1 28749 -1.76657062 1.23119519 -101.217041 70.542288
    Unten rechts KachelX + 1 28685 KachelY + 1 28749 -1.76652269 1.23119519 -101.214295 70.542288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23121116-1.23119519) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23121116-1.23119519) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76657062--1.76652269) × cos(1.23121116) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333095977518176 × 6371000     		do = 101.714863879847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76657062--1.76652269) × cos(1.23119519) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.333111035475726 × 6371000     		du = 101.719462008332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23121116)-sin(1.23119519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333095977518176-0.333111035475726)×R²
    abs(-1.76652269--1.76657062)×1.50579575498577e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50579575498577e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50579575498577e-05×40589641000000     		ar = 10349.199520759m²