Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28683 / 28749
↖ ↑ ↗
← N 70.542288°
W101.219788°		 ← 101.74 m → N 70.542288°
W101.217041°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
N 70.541373°
W101.219788°		 ← 101.75 m →
10 352 m²		 N 70.541373°
W101.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218837738037109 y=0.219341278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218837738037109 × 217)
    floor (0.218837738037109 × 131072)
    floor (28683.5)     		tx = 28683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219341278076172 × 217)
    floor (0.219341278076172 × 131072)
    floor (28749.5)     		ty = 28749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28683 / 28749 ti = "17/28683/28749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28683/28749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28683 ÷ 217
    28683 ÷ 131072     		x = 0.218833923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28749 ÷ 217
    28749 ÷ 131072     		y = 0.219337463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218833923339844 × 2 - 1) × π
    -0.562332153320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.76661856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219337463378906 × 2 - 1) × π
    0.561325073242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.76345472632301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76661856} λ = -1.76661856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76345472632301))-π/2
    2×atan(5.83255250095754)-π/2
    2×1.40099575812292-π/2
    2.80199151624583-1.57079632675     		φ = 1.23119519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76661856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.219788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23119519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.542288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28683 KachelY 28749 -1.76661856 1.23119519 -101.219788 70.542288
    Oben rechts KachelX + 1 28684 KachelY 28749 -1.76657062 1.23119519 -101.217041 70.542288
    Unten links KachelX 28683 KachelY + 1 28750 -1.76661856 1.23117922 -101.219788 70.541373
    Unten rechts KachelX + 1 28684 KachelY + 1 28750 -1.76657062 1.23117922 -101.217041 70.541373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23119519-1.23117922) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23119519-1.23117922) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76661856--1.76657062) × cos(1.23119519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333111035475726 × 6371000     		do = 101.740684512273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76661856--1.76657062) × cos(1.23117922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333126093348319 × 6371000     		du = 101.745283574153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23119519)-sin(1.23117922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333111035475726-0.333126093348319)×R²
    abs(-1.76657062--1.76661856)×1.50578725928718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50578725928718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50578725928718e-05×40589641000000     		ar = 10351.826685052m²