Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28683 / 21207
↖ ↑ ↗
← N 53.465161°
W 22.439575°		 ← 363.61 m → N 53.465161°
W 22.434082°		 →
↑
363.66 m
↓
↑
363.66 m
↓
N 53.461890°
W 22.439575°		 ← 363.64 m →
132 234 m²		 N 53.461890°
W 22.434082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437675476074219 y=0.323600769042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437675476074219 × 216)
    floor (0.437675476074219 × 65536)
    floor (28683.5)     		tx = 28683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323600769042969 × 216)
    floor (0.323600769042969 × 65536)
    floor (21207.5)     		ty = 21207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28683 / 21207 ti = "16/28683/21207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28683/21207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28683 ÷ 216
    28683 ÷ 65536     		x = 0.437667846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21207 ÷ 216
    21207 ÷ 65536     		y = 0.323593139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437667846679688 × 2 - 1) × π
    -0.124664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39164447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323593139648438 × 2 - 1) × π
    0.352813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10839699301494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39164447} λ = -0.39164447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10839699301494))-π/2
    2×atan(3.02949819324319)-π/2
    2×1.25196970807033-π/2
    2.50393941614066-1.57079632675     		φ = 0.93314309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39164447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.439575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93314309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.465161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28683 KachelY 21207 -0.39164447 0.93314309 -22.439575 53.465161
    Oben rechts KachelX + 1 28684 KachelY 21207 -0.39154860 0.93314309 -22.434082 53.465161
    Unten links KachelX 28683 KachelY + 1 21208 -0.39164447 0.93308601 -22.439575 53.461890
    Unten rechts KachelX + 1 28684 KachelY + 1 21208 -0.39154860 0.93308601 -22.434082 53.461890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93314309-0.93308601) × R
    5.70799999999316e-05 × 6371000     		dl = 363.656679999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93314309-0.93308601) × R
    5.70799999999316e-05 × 6371000     		dr = 363.656679999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39164447--0.39154860) × cos(0.93314309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595311469812839 × 6371000     		do = 363.608965102398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39164447--0.39154860) × cos(0.93308601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		du = 363.636977372476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93314309)-sin(0.93308601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595311469812839-0.595357332338995)×R²
    abs(-0.39154860--0.39164447)×4.58625261561263e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58625261561263e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58625261561263e-05×40589641000000     		ar = 132233.922527637m²