Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28681 / 42417
↖ ↑ ↗
← S 46.743625°
W 22.450562°		 ← 418.59 m → S 46.743625°
W 22.445068°		 →
↑
418.57 m
↓
↑
418.57 m
↓
S 46.747389°
W 22.450562°		 ← 418.57 m →
175 207 m²		 S 46.747389°
W 22.445068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437644958496094 y=0.647239685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437644958496094 × 216)
    floor (0.437644958496094 × 65536)
    floor (28681.5)     		tx = 28681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647239685058594 × 216)
    floor (0.647239685058594 × 65536)
    floor (42417.5)     		ty = 42417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28681 / 42417 ti = "16/28681/42417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28681/42417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28681 ÷ 216
    28681 ÷ 65536     		x = 0.437637329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42417 ÷ 216
    42417 ÷ 65536     		y = 0.647232055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437637329101562 × 2 - 1) × π
    -0.124725341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39183622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647232055664062 × 2 - 1) × π
    -0.294464111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.925086288867844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39183622} λ = -0.39183622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.925086288867844))-π/2
    2×atan(0.396497204303975)-π/2
    2×0.377483083132825-π/2
    0.754966166265651-1.57079632675     		φ = -0.81583016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39183622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.450562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81583016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.743625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28681 KachelY 42417 -0.39183622 -0.81583016 -22.450562 -46.743625
    Oben rechts KachelX + 1 28682 KachelY 42417 -0.39174034 -0.81583016 -22.445068 -46.743625
    Unten links KachelX 28681 KachelY + 1 42418 -0.39183622 -0.81589586 -22.450562 -46.747389
    Unten rechts KachelX + 1 28682 KachelY + 1 42418 -0.39174034 -0.81589586 -22.445068 -46.747389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81583016--0.81589586) × R
    6.57000000000574e-05 × 6371000     		dl = 418.574700000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81583016--0.81589586) × R
    6.57000000000574e-05 × 6371000     		dr = 418.574700000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39183622--0.39174034) × cos(-0.81583016) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685264028504748 × 6371000     		do = 418.594546002855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39183622--0.39174034) × cos(-0.81589586) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.685216178062167 × 6371000     		du = 418.565316489186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81583016)-sin(-0.81589586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.685264028504748-0.685216178062167)×R²
    abs(-0.39174034--0.39183622)×4.78504425811543e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78504425811543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78504425811543e-05×40589641000000     		ar = 175206.969210751m²