Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28680 / 4566
↖ ↑ ↗
← N 78.157062°
E135.087891°		 ← 250.72 m → N 78.157062°
E135.098877°		 →
↑
250.76 m
↓
↑
250.76 m
↓
N 78.154807°
E135.087891°		 ← 250.76 m →
62 876 m²		 N 78.154807°
E135.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.875259399414062 y=0.139358520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.875259399414062 × 215)
    floor (0.875259399414062 × 32768)
    floor (28680.5)     		tx = 28680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139358520507812 × 215)
    floor (0.139358520507812 × 32768)
    floor (4566.5)     		ty = 4566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28680 / 4566 ti = "15/28680/4566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28680/4566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28680 ÷ 215
    28680 ÷ 32768     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4566 ÷ 215
    4566 ÷ 32768     		y = 0.13934326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13934326171875 × 2 - 1) × π
    0.7213134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26607311883929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26607311883929))-π/2
    2×atan(9.64146548987223)-π/2
    2×1.4674471922284-π/2
    2.9348943844568-1.57079632675     		φ = 1.36409806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36409806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.157062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28680 KachelY 4566 2.35772847 1.36409806 135.087891 78.157062
    Oben rechts KachelX + 1 28681 KachelY 4566 2.35792022 1.36409806 135.098877 78.157062
    Unten links KachelX 28680 KachelY + 1 4567 2.35772847 1.36405870 135.087891 78.154807
    Unten rechts KachelX + 1 28681 KachelY + 1 4567 2.35792022 1.36405870 135.098877 78.154807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36409806-1.36405870) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dl = 250.762559999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36409806-1.36405870) × R
    3.93599999999328e-05 × 6371000     		dr = 250.762559999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35792022) × cos(1.36409806) × R
    0.000191749999999935 × 0.205229572310747 × 6371000     		do = 250.716500795437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35792022) × cos(1.36405870) × R
    0.000191749999999935 × 0.205268094329353 × 6371000     		du = 250.763560805355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36409806)-sin(1.36405870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205229572310747-0.205268094329353)×R²
    abs(2.35792022-2.35772847)×3.85220186059354e-05×R²
    0.000191749999999935×3.85220186059354e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.85220186059354e-05×40589641000000     		ar = 62876.2120257442m²