Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28679 / 42380
↖ ↑ ↗
← S 46.604167°
W 22.461548°		 ← 419.68 m → S 46.604167°
W 22.456055°		 →
↑
419.66 m
↓
↑
419.66 m
↓
S 46.607941°
W 22.461548°		 ← 419.65 m →
176 114 m²		 S 46.607941°
W 22.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437614440917969 y=0.646675109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437614440917969 × 216)
    floor (0.437614440917969 × 65536)
    floor (28679.5)     		tx = 28679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646675109863281 × 216)
    floor (0.646675109863281 × 65536)
    floor (42380.5)     		ty = 42380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28679 / 42380 ti = "16/28679/42380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28679/42380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28679 ÷ 216
    28679 ÷ 65536     		x = 0.437606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42380 ÷ 216
    42380 ÷ 65536     		y = 0.64666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437606811523438 × 2 - 1) × π
    -0.124786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39202797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.2933349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.921538958295959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39202797} λ = -0.39202797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.921538958295959))-π/2
    2×atan(0.397906208582923)-π/2
    2×0.378700082335004-π/2
    0.757400164670007-1.57079632675     		φ = -0.81339616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39202797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.461548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81339616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.604167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28679 KachelY 42380 -0.39202797 -0.81339616 -22.461548 -46.604167
    Oben rechts KachelX + 1 28680 KachelY 42380 -0.39193209 -0.81339616 -22.456055 -46.604167
    Unten links KachelX 28679 KachelY + 1 42381 -0.39202797 -0.81346203 -22.461548 -46.607941
    Unten rechts KachelX + 1 28680 KachelY + 1 42381 -0.39193209 -0.81346203 -22.456055 -46.607941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81339616--0.81346203) × R
    6.58699999999124e-05 × 6371000     		dl = 419.657769999442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81339616--0.81346203) × R
    6.58699999999124e-05 × 6371000     		dr = 419.657769999442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39202797--0.39193209) × cos(-0.81339616) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.687034666250029 × 6371000     		do = 419.676142690104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39202797--0.39193209) × cos(-0.81346203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.686986801994558 × 6371000     		du = 419.646904738811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81339616)-sin(-0.81346203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687034666250029-0.686986801994558)×R²
    abs(-0.39193209--0.39202797)×4.78642554708752e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78642554708752e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78642554708752e-05×40589641000000     		ar = 176114.219259882m²