Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28676 / 21215
↖ ↑ ↗
← N 53.438991°
W 22.478028°		 ← 363.87 m → N 53.438991°
W 22.472534°		 →
↑
363.85 m
↓
↑
363.85 m
↓
N 53.435719°
W 22.478028°		 ← 363.90 m →
132 399 m²		 N 53.435719°
W 22.472534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437568664550781 y=0.323722839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437568664550781 × 216)
    floor (0.437568664550781 × 65536)
    floor (28676.5)     		tx = 28676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323722839355469 × 216)
    floor (0.323722839355469 × 65536)
    floor (21215.5)     		ty = 21215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28676 / 21215 ti = "16/28676/21215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28676/21215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28676 ÷ 216
    28676 ÷ 65536     		x = 0.43756103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21215 ÷ 216
    21215 ÷ 65536     		y = 0.323715209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43756103515625 × 2 - 1) × π
    -0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323715209960938 × 2 - 1) × π
    0.352569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10763000262102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39231559} λ = -0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10763000262102))-π/2
    2×atan(3.02717548809071)-π/2
    2×1.25174133862696-π/2
    2.50348267725393-1.57079632675     		φ = 0.93268635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93268635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.438991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28676 KachelY 21215 -0.39231559 0.93268635 -22.478028 53.438991
    Oben rechts KachelX + 1 28677 KachelY 21215 -0.39221971 0.93268635 -22.472534 53.438991
    Unten links KachelX 28676 KachelY + 1 21216 -0.39231559 0.93262924 -22.478028 53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 28677 KachelY + 1 21216 -0.39221971 0.93262924 -22.472534 53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93268635-0.93262924) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dl = 363.847809999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93268635-0.93262924) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dr = 363.847809999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39231559--0.39221971) × cos(0.93268635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595678396023044 × 6371000     		do = 363.871029814675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39231559--0.39221971) × cos(0.93262924) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 363.899050241707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93268635)-sin(0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595678396023044-0.595724267119292)×R²
    abs(-0.39221971--0.39231559)×4.58710962477626e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58710962477626e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58710962477626e-05×40589641000000     		ar = 132398.774942266m²