Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28675 / 21216
↖ ↑ ↗
← N 53.435719°
W 22.483520°		 ← 363.86 m → N 53.435719°
W 22.478028°		 →
↑
363.91 m
↓
↑
363.91 m
↓
N 53.432447°
W 22.483520°		 ← 363.89 m →
132 418 m²		 N 53.432447°
W 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437553405761719 y=0.323738098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437553405761719 × 216)
    floor (0.437553405761719 × 65536)
    floor (28675.5)     		tx = 28675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323738098144531 × 216)
    floor (0.323738098144531 × 65536)
    floor (21216.5)     		ty = 21216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28675 / 21216 ti = "16/28675/21216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28675/21216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28675 ÷ 216
    28675 ÷ 65536     		x = 0.437545776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21216 ÷ 216
    21216 ÷ 65536     		y = 0.32373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437545776367188 × 2 - 1) × π
    -0.124908447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39241146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32373046875 × 2 - 1) × π
    0.3525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10753412882178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39241146} λ = -0.39241146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10753412882178))-π/2
    2×atan(3.02688527518783)-π/2
    2×1.25171278255201-π/2
    2.50342556510402-1.57079632675     		φ = 0.93262924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39241146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.483520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93262924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.435719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28675 KachelY 21216 -0.39241146 0.93262924 -22.483520 53.435719
    Oben rechts KachelX + 1 28676 KachelY 21216 -0.39231559 0.93262924 -22.478028 53.435719
    Unten links KachelX 28675 KachelY + 1 21217 -0.39241146 0.93257212 -22.483520 53.432447
    Unten rechts KachelX + 1 28676 KachelY + 1 21217 -0.39231559 0.93257212 -22.478028 53.432447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93262924-0.93257212) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dl = 363.911520000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93262924-0.93257212) × R
    5.71200000000216e-05 × 6371000     		dr = 363.911520000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39241146--0.39231559) × cos(0.93262924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595724267119292 × 6371000     		do = 363.861096648669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39241146--0.39231559) × cos(0.93257212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.595770144304104 × 6371000     		du = 363.889117872074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93262924)-sin(0.93257212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595724267119292-0.595770144304104)×R²
    abs(-0.39231559--0.39241146)×4.5877184812082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5877184812082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5877184812082e-05×40589641000000     		ar = 132418.343409315m²