Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 28673 / 28671
↖ ↑ ↗
← N 70.613526°
W101.247253°		 ← 101.38 m → N 70.613526°
W101.244507°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
N 70.612614°
W101.247253°		 ← 101.39 m →
10 277 m²		 N 70.612614°
W101.244507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218761444091797 y=0.218746185302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218761444091797 × 217)
    floor (0.218761444091797 × 131072)
    floor (28673.5)     		tx = 28673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218746185302734 × 217)
    floor (0.218746185302734 × 131072)
    floor (28671.5)     		ty = 28671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28673 / 28671 ti = "17/28673/28671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28673/28671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28673 ÷ 217
    28673 ÷ 131072     		x = 0.218757629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28671 ÷ 217
    28671 ÷ 131072     		y = 0.218742370605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218757629394531 × 2 - 1) × π
    -0.562484741210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.76709793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218742370605469 × 2 - 1) × π
    0.562515258789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.76719380449337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76709793} λ = -1.76709793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76719380449337))-π/2
    2×atan(5.85440169315458)-π/2
    2×1.40161742556615-π/2
    2.8032348511323-1.57079632675     		φ = 1.23243852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76709793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.247253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23243852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.613526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28673 KachelY 28671 -1.76709793 1.23243852 -101.247253 70.613526
    Oben rechts KachelX + 1 28674 KachelY 28671 -1.76704999 1.23243852 -101.244507 70.613526
    Unten links KachelX 28673 KachelY + 1 28672 -1.76709793 1.23242261 -101.247253 70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 28674 KachelY + 1 28672 -1.76704999 1.23242261 -101.244507 70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23243852-1.23242261) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dl = 101.362610000757m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23243852-1.23242261) × R
    1.59100000001189e-05 × 6371000     		dr = 101.362610000757m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76709793--1.76704999) × cos(1.23243852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331938457857214 × 6371000     		do = 101.382549125432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76709793--1.76704999) × cos(1.23242261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 101.387132917555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23243852)-sin(1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331938457857214-0.331953465734817)×R²
    abs(-1.76704999--1.76709793)×1.50078776030016e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50078776030016e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50078776030016e-05×40589641000000     		ar = 10276.6321007019m²