Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28672 / 42207
↖ ↑ ↗
← S 45.947331°
W 22.500000°		 ← 424.69 m → S 45.947331°
W 22.494507°		 →
↑
424.69 m
↓
↑
424.69 m
↓
S 45.951150°
W 22.500000°		 ← 424.66 m →
180 357 m²		 S 45.951150°
W 22.494507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437507629394531 y=0.644035339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437507629394531 × 216)
    floor (0.437507629394531 × 65536)
    floor (28672.5)     		tx = 28672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644035339355469 × 216)
    floor (0.644035339355469 × 65536)
    floor (42207.5)     		ty = 42207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28672 / 42207 ti = "16/28672/42207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28672/42207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28672 ÷ 216
    28672 ÷ 65536     		x = 0.4375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42207 ÷ 216
    42207 ÷ 65536     		y = 0.644027709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4375 × 2 - 1) × π
    -0.125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644027709960938 × 2 - 1) × π
    -0.288055419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.90495279102742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39269908} λ = -0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90495279102742))-π/2
    2×atan(0.404560983560586)-π/2
    2×0.384432065156585-π/2
    0.76886413031317-1.57079632675     		φ = -0.80193220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80193220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.947331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28672 KachelY 42207 -0.39269908 -0.80193220 -22.500000 -45.947331
    Oben rechts KachelX + 1 28673 KachelY 42207 -0.39260321 -0.80193220 -22.494507 -45.947331
    Unten links KachelX 28672 KachelY + 1 42208 -0.39269908 -0.80199886 -22.500000 -45.951150
    Unten rechts KachelX + 1 28673 KachelY + 1 42208 -0.39260321 -0.80199886 -22.494507 -45.951150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80193220--0.80199886) × R
    6.66599999999962e-05 × 6371000     		dl = 424.690859999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80193220--0.80199886) × R
    6.66599999999962e-05 × 6371000     		dr = 424.690859999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39269908--0.39260321) × cos(-0.80193220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695319334229882 × 6371000     		do = 424.692545592145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39269908--0.39260321) × cos(-0.80199886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.695271424081233 × 6371000     		du = 424.663282659291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80193220)-sin(-0.80199886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695319334229882-0.695271424081233)×R²
    abs(-0.39260321--0.39269908)×4.79101486486888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79101486486888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79101486486888e-05×40589641000000     		ar = 180356.828639655m²