Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28671 / 42394
↖ ↑ ↗
← S 46.656977°
W 22.505493°		 ← 419.27 m → S 46.656977°
W 22.500000°		 →
↑
419.28 m
↓
↑
419.28 m
↓
S 46.660748°
W 22.505493°		 ← 419.24 m →
175 782 m²		 S 46.660748°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437492370605469 y=0.646888732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437492370605469 × 216)
    floor (0.437492370605469 × 65536)
    floor (28671.5)     		tx = 28671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646888732910156 × 216)
    floor (0.646888732910156 × 65536)
    floor (42394.5)     		ty = 42394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28671 / 42394 ti = "16/28671/42394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28671/42394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28671 ÷ 216
    28671 ÷ 65536     		x = 0.437484741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42394 ÷ 216
    42394 ÷ 65536     		y = 0.646881103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437484741210938 × 2 - 1) × π
    -0.125030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39279496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.29376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.922881191485321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39279496} λ = -0.39279496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922881191485321))-π/2
    2×atan(0.397372483935107)-π/2
    2×0.378239226808361-π/2
    0.756478453616723-1.57079632675     		φ = -0.81431787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39279496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.505493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81431787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.656977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28671 KachelY 42394 -0.39279496 -0.81431787 -22.505493 -46.656977
    Oben rechts KachelX + 1 28672 KachelY 42394 -0.39269908 -0.81431787 -22.500000 -46.656977
    Unten links KachelX 28671 KachelY + 1 42395 -0.39279496 -0.81438368 -22.505493 -46.660748
    Unten rechts KachelX + 1 28672 KachelY + 1 42395 -0.39269908 -0.81438368 -22.500000 -46.660748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81431787--0.81438368) × R
    6.5810000000055e-05 × 6371000     		dl = 419.27551000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81431787--0.81438368) × R
    6.5810000000055e-05 × 6371000     		dr = 419.27551000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39279496--0.39269908) × cos(-0.81431787) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.68636463731308 × 6371000     		do = 419.266854522569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39279496--0.39269908) × cos(-0.81438368) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.686316775005604 × 6371000     		du = 419.237617761211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81431787)-sin(-0.81438368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68636463731308-0.686316775005604)×R²
    abs(-0.39269908--0.39279496)×4.78623074761098e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78623074761098e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78623074761098e-05×40589641000000     		ar = 175782.195190685m²