Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28671 / 28668
↖ ↑ ↗
← N 70.616261°
W101.252746°		 ← 101.35 m → N 70.616261°
W101.250000°		 →
↑
101.36 m
↓
↑
101.36 m
↓
N 70.615349°
W101.252746°		 ← 101.35 m →
10 273 m²		 N 70.615349°
W101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218746185302734 y=0.218723297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218746185302734 × 217)
    floor (0.218746185302734 × 131072)
    floor (28671.5)     		tx = 28671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218723297119141 × 217)
    floor (0.218723297119141 × 131072)
    floor (28668.5)     		ty = 28668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28671 / 28668 ti = "17/28671/28668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28671/28668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28671 ÷ 217
    28671 ÷ 131072     		x = 0.218742370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28668 ÷ 217
    28668 ÷ 131072     		y = 0.218719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218742370605469 × 2 - 1) × π
    -0.562515258789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.76719380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218719482421875 × 2 - 1) × π
    0.56256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76733761519223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76719380} λ = -1.76719380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76733761519223))-π/2
    2×atan(5.85524367929533)-π/2
    2×1.40164129209778-π/2
    2.80328258419557-1.57079632675     		φ = 1.23248626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76719380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.252746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23248626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.616261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28671 KachelY 28668 -1.76719380 1.23248626 -101.252746 70.616261
    Oben rechts KachelX + 1 28672 KachelY 28668 -1.76714587 1.23248626 -101.250000 70.616261
    Unten links KachelX 28671 KachelY + 1 28669 -1.76719380 1.23247035 -101.252746 70.615349
    Unten rechts KachelX + 1 28672 KachelY + 1 28669 -1.76714587 1.23247035 -101.250000 70.615349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23248626-1.23247035) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dl = 101.362609999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23248626-1.23247035) × R
    1.59099999998968e-05 × 6371000     		dr = 101.362609999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76719380--1.76714587) × cos(1.23248626) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331893424287114 × 6371000     		do = 101.347649784026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76719380--1.76714587) × cos(1.23247035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331908432416827 × 6371000     		du = 101.352232696982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23248626)-sin(1.23247035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331893424287114-0.331908432416827)×R²
    abs(-1.76714587--1.76719380)×1.50081297130011e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50081297130011e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50081297130011e-05×40589641000000     		ar = 10273.0945675942m²