Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 28671 / 20478
↖ ↑ ↗
← N 76.842067°
W101.252746°		 ← 69.51 m → N 76.842067°
W101.250000°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.841442°
W101.252746°		 ← 69.51 m →
4 832 m²		 N 76.841442°
W101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.218746185302734 y=0.156238555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.218746185302734 × 217)
    floor (0.218746185302734 × 131072)
    floor (28671.5)     		tx = 28671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156238555908203 × 217)
    floor (0.156238555908203 × 131072)
    floor (20478.5)     		ty = 20478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 28671 / 20478 ti = "17/28671/20478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/28671/20478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28671 ÷ 217
    28671 ÷ 131072     		x = 0.218742370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20478 ÷ 217
    20478 ÷ 131072     		y = 0.156234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.218742370605469 × 2 - 1) × π
    -0.562515258789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.76719380
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156234741210938 × 2 - 1) × π
    0.687530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15994082308049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76719380} λ = -1.76719380}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15994082308049))-π/2
    2×atan(8.67062454243064)-π/2
    2×1.45597169924009-π/2
    2.91194339848018-1.57079632675     		φ = 1.34114707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76719380} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.252746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34114707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.842067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28671 KachelY 20478 -1.76719380 1.34114707 -101.252746 76.842067
    Oben rechts KachelX + 1 28672 KachelY 20478 -1.76714587 1.34114707 -101.250000 76.842067
    Unten links KachelX 28671 KachelY + 1 20479 -1.76719380 1.34113616 -101.252746 76.841442
    Unten rechts KachelX + 1 28672 KachelY + 1 20479 -1.76714587 1.34113616 -101.250000 76.841442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34114707-1.34113616) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dl = 69.5076100005487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34114707-1.34113616) × R
    1.09100000000861e-05 × 6371000     		dr = 69.5076100005487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76719380--1.76714587) × cos(1.34114707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227636002647117 × 6371000     		do = 69.5113918694515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76719380--1.76714587) × cos(1.34113616) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.227646626205666 × 6371000     		du = 69.5146359008559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34114707)-sin(1.34113616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227636002647117-0.227646626205666)×R²
    abs(-1.76714587--1.76719380)×1.0623558549111e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0623558549111e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0623558549111e-05×40589641000000     		ar = 4831.68345901979m²