Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28670 / 4555
↖ ↑ ↗
← N 78.181838°
E134.978027°		 ← 250.20 m → N 78.181838°
E134.989014°		 →
↑
250.25 m
↓
↑
250.25 m
↓
N 78.179588°
E134.978027°		 ← 250.25 m →
62 619 m²		 N 78.179588°
E134.989014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874954223632812 y=0.139022827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874954223632812 × 215)
    floor (0.874954223632812 × 32768)
    floor (28670.5)     		tx = 28670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139022827148438 × 215)
    floor (0.139022827148438 × 32768)
    floor (4555.5)     		ty = 4555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28670 / 4555 ti = "15/28670/4555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28670/4555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28670 ÷ 215
    28670 ÷ 32768     		x = 0.87493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4555 ÷ 215
    4555 ÷ 32768     		y = 0.139007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87493896484375 × 2 - 1) × π
    0.7498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35581099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139007568359375 × 2 - 1) × π
    0.72198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26818234242258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35581099} λ = 2.35581099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26818234242258))-π/2
    2×atan(9.66182295793952)-π/2
    2×1.46766340650582-π/2
    2.93532681301164-1.57079632675     		φ = 1.36453049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35581099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.978027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36453049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.181838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28670 KachelY 4555 2.35581099 1.36453049 134.978027 78.181838
    Oben rechts KachelX + 1 28671 KachelY 4555 2.35600274 1.36453049 134.989014 78.181838
    Unten links KachelX 28670 KachelY + 1 4556 2.35581099 1.36449121 134.978027 78.179588
    Unten rechts KachelX + 1 28671 KachelY + 1 4556 2.35600274 1.36449121 134.989014 78.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36453049-1.36449121) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dl = 250.25287999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36453049-1.36449121) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dr = 250.25287999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35581099-2.35600274) × cos(1.36453049) × R
    0.000191749999999935 × 0.204806327900294 × 6371000     		do = 250.199448811285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35581099-2.35600274) × cos(1.36449121) × R
    0.000191749999999935 × 0.204844775105168 × 6371000     		du = 250.246417425811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36453049)-sin(1.36449121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204806327900294-0.204844775105168)×R²
    abs(2.35600274-2.35581099)×3.84472048735041e-05×R²
    0.000191749999999935×3.84472048735041e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.84472048735041e-05×40589641000000     		ar = 62619.0096632572m²