Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 28669 / 4556
↖ ↑ ↗
← N 78.179588°
E134.967041°		 ← 250.23 m → N 78.179588°
E134.978027°		 →
↑
250.25 m
↓
↑
250.25 m
↓
N 78.177337°
E134.967041°		 ← 250.28 m →
62 627 m²		 N 78.177337°
E134.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874923706054688 y=0.139053344726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874923706054688 × 215)
    floor (0.874923706054688 × 32768)
    floor (28669.5)     		tx = 28669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139053344726562 × 215)
    floor (0.139053344726562 × 32768)
    floor (4556.5)     		ty = 4556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28669 / 4556 ti = "15/28669/4556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28669/4556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28669 ÷ 215
    28669 ÷ 32768     		x = 0.874908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4556 ÷ 215
    4556 ÷ 32768     		y = 0.1390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874908447265625 × 2 - 1) × π
    0.74981689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35561925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1390380859375 × 2 - 1) × π
    0.721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2679905948241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35561925} λ = 2.35561925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2679905948241))-π/2
    2×atan(9.65997050419785)-π/2
    2×1.46764376910196-π/2
    2.93528753820392-1.57079632675     		φ = 1.36449121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35561925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.967041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36449121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.179588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28669 KachelY 4556 2.35561925 1.36449121 134.967041 78.179588
    Oben rechts KachelX + 1 28670 KachelY 4556 2.35581099 1.36449121 134.978027 78.179588
    Unten links KachelX 28669 KachelY + 1 4557 2.35561925 1.36445193 134.967041 78.177337
    Unten rechts KachelX + 1 28670 KachelY + 1 4557 2.35581099 1.36445193 134.978027 78.177337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36449121-1.36445193) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dl = 250.25287999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36449121-1.36445193) × R
    3.92799999999749e-05 × 6371000     		dr = 250.25287999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35561925-2.35581099) × cos(1.36449121) × R
    0.000191739999999996 × 0.204844775105168 × 6371000     		do = 250.233366765269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35561925-2.35581099) × cos(1.36445193) × R
    0.000191739999999996 × 0.204883221993983 × 6371000     		du = 250.280332544234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36449121)-sin(1.36445193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204844775105168-0.204883221993983)×R²
    abs(2.35581099-2.35561925)×3.84468888147416e-05×R²
    0.000191739999999996×3.84468888147416e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.84468888147416e-05×40589641000000     		ar = 62627.4973738492m²